Номер 1081, страница 199 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$P_{ab1}$ - мощность на участке ab при разомкнутом ключе K.

$P_{ab2}$ - мощность на участке ab при замкнутом ключе K.

$P_{ab1} = P_{ab2}$

$U = \text{const}$

Найти:

$R_x$

Решение:

Рассмотрим два состояния электрической цепи: с разомкнутым и замкнутым ключом K.

1. Ключ K разомкнут.

Когда ключ разомкнут, ток через нижний резистор $R_0$ не течет. Таким образом, сопротивление участка ab равно сопротивлению одного резистора:

$R_{ab1} = R_0$

Резистор $R_x$ и участок ab соединены последовательно. Общее сопротивление цепи в этом случае составляет:

$R_{общ1} = R_x + R_{ab1} = R_x + R_0$

Согласно закону Ома, общий ток в цепи равен:

$I_1 = \frac{U}{R_{общ1}} = \frac{U}{R_x + R_0}$

Этот ток полностью протекает через участок ab. Мощность, выделяемая на участке ab, находится по формуле $P = I^2 R$:

$P_{ab1} = I_1^2 R_{ab1} = \left(\frac{U}{R_x + R_0}\right)^2 R_0$

2. Ключ K замкнут.

Когда ключ замкнут, два резистора $R_0$ на участке ab оказываются соединенными параллельно. Их эквивалентное сопротивление равно:

$\frac{1}{R_{ab2}} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{2}{R_0}$

$R_{ab2} = \frac{R_0}{2}$

Общее сопротивление всей цепи теперь будет:

$R_{общ2} = R_x + R_{ab2} = R_x + \frac{R_0}{2}$

Общий ток в цепи в этом случае равен:

$I_2 = \frac{U}{R_{общ2}} = \frac{U}{R_x + R_0/2}$

Мощность, выделяемая на участке ab:

$P_{ab2} = I_2^2 R_{ab2} = \left(\frac{U}{R_x + R_0/2}\right)^2 \frac{R_0}{2}$

3. Нахождение $R_x$.

По условию задачи, мощности в обоих случаях равны: $P_{ab1} = P_{ab2}$. Приравняем полученные выражения:

$\left(\frac{U}{R_x + R_0}\right)^2 R_0 = \left(\frac{U}{R_x + R_0/2}\right)^2 \frac{R_0}{2}$

Сократим обе части уравнения на $U^2$ и $R_0$ (так как эти величины не равны нулю):

$\frac{1}{(R_x + R_0)^2} = \frac{1}{2(R_x + R_0/2)^2}$

Отсюда следует:

$2\left(R_x + \frac{R_0}{2}\right)^2 = (R_x + R_0)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку сопротивления являются положительными величинами, выражения в скобках также положительны:

$\sqrt{2}\left(R_x + \frac{R_0}{2}\right) = R_x + R_0$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить $R_x$:

$\sqrt{2}R_x + \frac{\sqrt{2}}{2}R_0 = R_x + R_0$

$\sqrt{2}R_x - R_x = R_0 - \frac{\sqrt{2}}{2}R_0$

$R_x(\sqrt{2} - 1) = R_0\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$R_x(\sqrt{2} - 1) = R_0\left(\frac{2 - \sqrt{2}}{2}\right)$

Учитывая, что $2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$, подставим это в правую часть:

$R_x(\sqrt{2} - 1) = R_0\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{2}$

Сокращаем на общий множитель $(\sqrt{2} - 1)$:

$R_x = \frac{\sqrt{2}}{2}R_0$

Это выражение также можно записать как:

$R_x = \frac{R_0}{\sqrt{2}}$

Ответ: $R_x = \frac{R_0}{\sqrt{2}}$.