Номер 142, страница 37 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Растяжение пружины в неподвижном лифте, $ \Delta l_1 = 5,0 \text{ см} $

Дополнительное растяжение пружины в движущемся лифте, $ \Delta l_2 = 1,0 \text{ см} $

Ускорение свободного падения, $ g \approx 9,8 \text{ м/с}^2 $

Перевод в систему СИ:

$ \Delta l_1 = 5,0 \text{ см} = 0,05 \text{ м} $

$ \Delta l_2 = 1,0 \text{ см} = 0,01 \text{ м} $

Найти:

Модуль ускорения лифта, $ a $

Решение:

Рассмотрим два случая.

1. Лифт неподвижен. В этом случае на груз действуют две силы: сила тяжести $ F_т = mg $, направленная вниз, и сила упругости пружины $ F_{упр1} = k \Delta l_1 $, направленная вверх. Поскольку груз находится в состоянии покоя, по первому закону Ньютона эти силы уравновешивают друг друга:

$ F_{упр1} = F_т $

$ k \Delta l_1 = mg \quad (1) $

где $ k $ – жесткость пружины, $ m $ – масса груза.

2. Лифт движется с ускорением $ a $. Длина пружины увеличилась, значит, сила упругости возросла. Это означает, что равнодействующая сил направлена вверх, и, следовательно, ускорение лифта $ a $ также направлено вверх. Общее растяжение пружины составляет $ \Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 $. Новая сила упругости равна $ F_{упр2} = k(\Delta l_1 + \Delta l_2) $.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, действующих на груз, равна произведению массы на ускорение:

$ F_{упр2} - F_т = ma $

$ k(\Delta l_1 + \Delta l_2) - mg = ma \quad (2) $

Подставим в уравнение (2) выражение для $ mg $ из уравнения (1):

$ k(\Delta l_1 + \Delta l_2) - k \Delta l_1 = ma $

Раскроем скобки и упростим:

$ k \Delta l_1 + k \Delta l_2 - k \Delta l_1 = ma $

$ k \Delta l_2 = ma \quad (3) $

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} k \Delta l_1 = mg \\ k \Delta l_2 = ma \end{cases} $

Разделим второе уравнение системы на первое:

$ \frac{k \Delta l_2}{k \Delta l_1} = \frac{ma}{mg} $

Сократим $ k $ и $ m $:

$ \frac{\Delta l_2}{\Delta l_1} = \frac{a}{g} $

Отсюда выразим искомое ускорение $ a $:

$ a = g \frac{\Delta l_2}{\Delta l_1} $

Подставим числовые значения:

$ a = 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{1,0 \text{ см}}{5,0 \text{ см}} = 9,8 \cdot \frac{1}{5} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1,96 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} $

Ответ: $ a = 1,96 \text{ м/с}^2 $.