Номер 148, страница 38 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная длина шнура $l_0 = 2.0$ м

Масса гири $m = 0.50$ кг

Провисание шнура $h = 0.50$ м

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Жесткость шнура $k$

Решение:

Когда к середине горизонтального шнура подвешивают гирю, шнур растягивается и провисает. Гиря находится в равновесии под действием силы тяжести $F_g$, направленной вертикально вниз, и двух сил упругости (натяжения) $T$, направленных вдоль каждой из половин шнура.

В состоянии равновесия векторная сумма всех сил, действующих на гирю, равна нулю. В проекции на вертикальную ось это условие выглядит так:

$2 T_y = F_g$

где $T_y$ – вертикальная составляющая силы натяжения одной половины шнура. Сила тяжести равна $F_g = mg$.

Пусть $\alpha$ – угол, который каждая половина провисшего шнура составляет с горизонталью. Тогда вертикальная составляющая силы натяжения равна $T_y = T \sin{\alpha}$. Условие равновесия принимает вид:

$2T \sin{\alpha} = mg$ (1)

Теперь выразим силу натяжения $T$ и $\sin{\alpha}$ через известные величины.

Рассмотрим геометрию системы. Провисший шнур образует равнобедренный треугольник с высотой $h$ (провисание) и основанием $l_0$ (расстояние между точками крепления). Каждая половина шнура является боковой стороной этого треугольника. Длину половины начального шнура обозначим как $l_{0, half} = l_0/2$. Длину каждой растянутой половины шнура $l'$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $l_0/2$:

$l' = \sqrt{(l_0/2)^2 + h^2}$

Подставим числовые значения:

$l_0/2 = 2.0 \text{ м} / 2 = 1.0 \text{ м}$

$l' = \sqrt{(1.0 \text{ м})^2 + (0.50 \text{ м})^2} = \sqrt{1.0 \text{ м}^2 + 0.25 \text{ м}^2} = \sqrt{1.25} \text{ м} \approx 1.118 \text{ м}$

Из этого же треугольника найдем $\sin{\alpha}$:

$\sin{\alpha} = \frac{h}{l'} = \frac{h}{\sqrt{(l_0/2)^2 + h^2}}$ (2)

Сила натяжения $T$ – это сила упругости, возникающая в шнуре. Согласно закону Гука, она пропорциональна полному удлинению шнура $\Delta l$:

$T = k \Delta l$

Полное удлинение шнура равно разности его конечной и начальной длин:

$\Delta l = 2l' - l_0 = 2\sqrt{(l_0/2)^2 + h^2} - l_0$ (3)

Подставим выражения для $T$ (из закона Гука) и $\sin{\alpha}$ (2) в уравнение равновесия (1):

$2 \cdot k (2\sqrt{(l_0/2)^2 + h^2} - l_0) \cdot \frac{h}{\sqrt{(l_0/2)^2 + h^2}} = mg$

Выразим отсюда искомую жесткость $k$:

$k = \frac{mg \sqrt{(l_0/2)^2 + h^2}}{2h(2\sqrt{(l_0/2)^2 + h^2} - l_0)}$

Подставим числовые значения в формулу:

$k = \frac{0.50 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sqrt{1.25} \text{ м}}{2 \cdot 0.50 \text{ м} \cdot (2\sqrt{1.25} \text{ м} - 2.0 \text{ м})}$

$k = \frac{4.9 \cdot \sqrt{1.25}}{1.0 \cdot (2\sqrt{1.25} - 2.0)} \text{ Н/м}$

$k \approx \frac{4.9 \cdot 1.118}{2 \cdot 1.118 - 2.0} \text{ Н/м} = \frac{5.4782}{2.236 - 2.0} \text{ Н/м} = \frac{5.4782}{0.236} \text{ Н/м} \approx 23.21 \text{ Н/м}$

С учетом того, что исходные данные даны с двумя значащими цифрами, округлим результат.

Ответ: $k \approx 23$ Н/м.