Номер 155, страница 39 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 80 \text{ кг}$

$v_1 = 6,0 \frac{м}{с}$

$m_2 = 60 \text{ кг}$

$F_{сопр} \sim v^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_2$

Решение:

Парашютист спускается с установившейся скоростью. Это означает, что его движение является равномерным, а ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, это возможно, когда равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю.

На парашютиста действуют две силы: сила тяжести $F_т$, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$, направленная вертикально вверх. Условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось имеет вид:

$F_т = F_{сопр}$

Сила тяжести определяется по формуле $F_т = mg$. Сила сопротивления воздуха, по условию, пропорциональна квадрату скорости, то есть $F_{сопр} = k v^2$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, который зависит от формы и размеров парашюта. Так как парашют в обоих случаях используется один и тот же, этот коэффициент является постоянным.

Запишем уравнения равновесия для двух случаев:

1. Для первого парашютиста массой $m_1$, движущегося со скоростью $v_1$:

$m_1 g = k v_1^2$

2. Для второго человека массой $m_2$, движущегося со скоростью $v_2$:

$m_2 g = k v_2^2$

Мы имеем систему из двух уравнений. Чтобы найти $v_2$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{m_2 g}{m_1 g} = \frac{k v_2^2}{k v_1^2}$

Сократив одинаковые множители $g$ и $k$ в левой и правой частях, получим:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{v_2^2}{v_1^2}$

Выразим из этого соотношения искомую скорость $v_2$:

$v_2^2 = v_1^2 \cdot \frac{m_2}{m_1}$

$v_2 = v_1 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_2 = 6,0 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{\frac{60 \text{ кг}}{80 \text{ кг}}} = 6,0 \cdot \sqrt{0,75} = 6,0 \cdot \sqrt{\frac{3}{4}} = 6,0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3,0 \cdot \sqrt{3} \approx 5,196 \frac{м}{с}$

Округляя результат до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$v_2 \approx 5,2 \frac{м}{с}$

Ответ: $v_2 \approx 5,2 \frac{м}{с}$.