Номер 150, страница 38 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Общая длина цепочки $l = 1,5$ м

Коэффициент трения $\mu = 0,50$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Длину свешивающейся части цепочки $l_1$, при которой она начнет скользить.

Решение:

Цепочка является однородной, поэтому ее масса распределена равномерно по всей длине. Введем линейную плотность массы (массу единицы длины) $\lambda = m/l$, где $m$ - масса всей цепочки.

Пусть $l_1$ — это длина свешивающейся части цепочки, а $l_2$ — длина части, лежащей на столе. Очевидно, что $l_2 = l - l_1$.

Сила, которая тянет цепочку со стола, — это сила тяжести, действующая на свешивающуюся часть. Масса этой части равна $m_1 = \lambda l_1$. Сила тяжести, действующая на нее:

$F_{тяг} = m_1g = \lambda l_1g$

Сила, которая удерживает цепочку на столе, — это сила трения покоя, действующая на часть цепочки, лежащую на столе. Масса этой части равна $m_2 = \lambda l_2 = \lambda(l - l_1)$. Сила нормальной реакции опоры $N$, действующая на эту часть, равна ее весу:

$N = m_2g = \lambda(l - l_1)g$

Максимальная сила трения покоя определяется как:

$F_{тр.макс} = \mu N = \mu \lambda(l - l_1)g$

Цепочка начнет скользить в тот момент, когда тянущая сила станет равной максимальной силе трения покоя. Запишем условие равновесия на грани соскальзывания:

$F_{тяг} = F_{тр.макс}$

Подставим выражения для сил:

$\lambda l_1g = \mu \lambda(l - l_1)g$

Можно сократить обе части уравнения на $\lambda g$, так как эти величины не равны нулю:

$l_1 = \mu(l - l_1)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $l_1$:

$l_1 = \mu l - \mu l_1$

$l_1 + \mu l_1 = \mu l$

$l_1(1 + \mu) = \mu l$

$l_1 = \frac{\mu l}{1 + \mu}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$l_1 = \frac{0,50 \cdot 1,5 \text{ м}}{1 + 0,50} = \frac{0,75 \text{ м}}{1,50} = 0,5 \text{ м}$

Ответ: Длина свешивающейся части цепочки, при которой она начнет скользить, равна $0,5$ м.