Номер 147, страница 38 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Жесткость пружины: $k$
Масса тела: $m$
Начальное ускорение: $\vec{a}$
Начальная скорость: $v_0 = 0$
Начальное растяжение пружины: $x_0 = 0$

Все данные представлены в общем виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Промежуток времени $\Delta t$, через который тело оторвется от подставки.

Решение:

Тело оторвется от подставки в тот момент, когда сила нормальной реакции опоры $N$, действующая на тело со стороны подставки, станет равной нулю. Запишем второй закон Ньютона для тела, направив ось $OX$ вертикально вниз. Начало отсчета ($x=0$) выберем в начальном положении тела, где пружина не растянута.

$mg - N = ma_{тела}$

где $a_{тела}$ – ускорение тела. В момент отрыва $N=0$, следовательно, ускорение тела должно стать равным ускорению свободного падения:

$a_{тела} = g$

Пока тело не оторвалось от подставки, оно движется вместе с ней как единое целое. Найдем закон движения системы "подставка + тело". В условии сказано, что движение начинается с ускорением $a$. В начальный момент времени ($t=0$) смещение $x=0$, и сила упругости пружины равна нулю. Сила тяжести, действующая на систему, сообщила бы ей ускорение $g$. Так как по условию начальное ускорение равно $a$, это означает, что на систему действует некоторая дополнительная постоянная внешняя сила $F_{ext}$, направленная вниз (если $a>g$) или вверх (если $a<g$).

Будем считать массу подставки пренебрежимо малой, так как она не дана в условии. Тогда уравнение движения тела (и подставки) под действием силы тяжести, силы упругости и внешней силы имеет вид:

$ma_{sys} = mg + F_{ext} - F_{упр}$

где $a_{sys}$ - ускорение системы, $F_{упр} = kx$ - сила упругости. В начальный момент $t=0$, $x=0$, $F_{упр}=0$ и $a_{sys}=a$.

$ma = mg + F_{ext} \implies F_{ext} = m(a-g)$

Подставим это значение $F_{ext}$ в уравнение движения:

$m\ddot{x} = mg + m(a-g) - kx$

$m\ddot{x} = ma - kx$

Перепишем в стандартном виде для гармонических колебаний:

$\ddot{x} + \frac{k}{m}x = a$

Это уравнение описывает гармонические колебания около положения равновесия $x_{равн} = \frac{ma}{k}$. Обозначим циклическую частоту колебаний $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Решение этого уравнения с начальными условиями $x(0)=0$ и $\dot{x}(0)=0$ имеет вид:

$x(t) = x_{равн}(1 - \cos(\omega t)) = \frac{ma}{k}(1 - \cos(\omega t))$

Теперь найдем ускорение системы в любой момент времени:

$a_{sys}(t) = \ddot{x}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \left( \frac{ma}{k}(1 - \cos(\omega t)) \right) = \frac{ma}{k} \omega^2 \cos(\omega t)$

Подставив $\omega^2 = k/m$, получим:

$a_{sys}(t) = \frac{ma}{k} \frac{k}{m} \cos(\omega t) = a \cos(\omega t)$

Как мы выяснили ранее, отрыв тела произойдет в момент времени $\Delta t$, когда ускорение системы станет равным $g$.

$a_{sys}(\Delta t) = g$

$a \cos(\omega \Delta t) = g$

$\cos(\omega \Delta t) = \frac{g}{a}$

Это уравнение имеет решение только в том случае, если $\frac{g}{a} \le 1$, то есть $a \ge g$. Если $a < g$, косинус не может быть больше единицы, и отрыва никогда не произойдет (сила реакции опоры всегда будет положительной).

Если $a=g$, то $\cos(\omega \Delta t)=1$, что соответствует $\Delta t = 0$. Отрыв происходит в начальный момент.

Если $a > g$, то решение для $\Delta t$ существует:

$\omega \Delta t = \arccos\left(\frac{g}{a}\right)$

$\Delta t = \frac{1}{\omega} \arccos\left(\frac{g}{a}\right)$

Подставляя значение $\omega$, получаем окончательный ответ.

$\Delta t = \sqrt{\frac{m}{k}} \arccos\left(\frac{g}{a}\right)$

Ответ: Тело оторвется от подставки через промежуток времени $\Delta t = \sqrt{\frac{m}{k}} \arccos\left(\frac{g}{a}\right)$. Это возможно только при условии $a \ge g$. Если $a < g$, отрыв не произойдет.