Номер 152, страница 39 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Угол, при котором брусок находится на грани соскальзывания, $\alpha = 30°$.
Угол, при котором брусок скользит с ускорением, $\beta = 45°$.
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

Найти:
Модуль ускорения бруска $a$.

Решение:

Сначала рассмотрим ситуацию, когда брусок находится на грани соскальзывания при угле наклона доски $\alpha = 30°$. В этом состоянии сила тяжести, действующая на брусок вдоль наклонной плоскости, уравновешивается максимальной силой трения покоя.

Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY — перпендикулярно плоскости вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Поскольку брусок находится в покое (ускорение равно нулю), сумма всех сил равна нулю.

Проекция на ось OY:
$N - mg \cos \alpha = 0$
Отсюда сила нормальной реакции $N$ равна:
$N = mg \cos \alpha$

Проекция на ось OX:
$mg \sin \alpha - F_{тр.пок} = 0$
Поскольку брусок на грани соскальзывания, сила трения покоя достигает своего максимального значения: $F_{тр.пок} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения.
$mg \sin \alpha = \mu N$

Подставим в это уравнение выражение для силы $N$:
$mg \sin \alpha = \mu (mg \cos \alpha)$

Сократив $mg$, получим выражение для коэффициента трения:
$\mu = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$

Теперь рассмотрим второй случай, когда угол наклона доски составляет $\beta = 45°$. Так как $\beta > \alpha$, брусок скользит вниз с ускорением $a$. Будем считать, что коэффициент трения скольжения равен коэффициенту трения покоя.

Запишем второй закон Ньютона для этого случая.

Проекция на ось OY:
$N' - mg \cos \beta = 0$
$N' = mg \cos \beta$

Проекция на ось OX:
$mg \sin \beta - F_{тр.ск} = ma$
Сила трения скольжения $F_{тр.ск} = \mu N'$. Подставим это и выражение для $N'$ в уравнение для оси OX:
$ma = mg \sin \beta - \mu (mg \cos \beta)$

Сократим массу $m$:
$a = g \sin \beta - \mu g \cos \beta = g(\sin \beta - \mu \cos \beta)$

Подставим найденное ранее выражение для коэффициента трения $\mu = \tan \alpha$:
$a = g(\sin \beta - \tan \alpha \cos \beta)$

Подставим числовые значения углов $\alpha = 30°$ и $\beta = 45°$ и значение $g \approx 9.8$ м/с²:
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$a = 9.8 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = 9.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - \frac{1}{\sqrt{3}})$
$a = 9.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}})$
$a \approx 9.8 \cdot \frac{1.414}{2} (\frac{1.732-1}{1.732}) \approx 9.8 \cdot 0.707 \cdot (\frac{0.732}{1.732}) \approx 9.8 \cdot 0.707 \cdot 0.423$
$a \approx 2.93$ м/с²

Ответ: модуль ускорения бруска $a \approx 2.93$ м/с².