Номер 145, страница 38 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Жесткость целого куска проволоки – $k$

Длина целого куска проволоки – $l_0$

Длина половины куска проволоки – $l_1 = \frac{l_0}{2}$

Найти:

Жесткость половины куска проволоки – $k_1$

Решение:

Жесткость тела при упругой деформации, такой как растяжение, зависит от его материала и геометрических размеров. Она определяется по формуле:

$k = \frac{E \cdot S}{l_0}$

где $E$ – модуль Юнга (характеристика материала), $S$ – площадь поперечного сечения, а $l_0$ – начальная длина.

Для исходного куска проволоки жесткость равна $k$.

Когда мы берем половину этого куска, его длина становится $l_1 = \frac{l_0}{2}$. Материал (модуль Юнга $E$) и толщина (площадь поперечного сечения $S$) остаются прежними.

Запишем формулу для жесткости $k_1$ нового, укороченного куска проволоки:

$k_1 = \frac{E \cdot S}{l_1}$

Подставим в эту формулу новое значение длины $l_1$:

$k_1 = \frac{E \cdot S}{\frac{l_0}{2}} = 2 \cdot \frac{E \cdot S}{l_0}$

Поскольку выражение $\frac{E \cdot S}{l_0}$ равно исходной жесткости $k$, мы можем выполнить замену:

$k_1 = 2k$

Обоснование: Жесткость обратно пропорциональна длине. Это означает, что чем короче проволока, тем она жестче. Если приложить одну и ту же силу к длинной и короткой проволоке, короткая растянется на меньшую величину. Уменьшение длины в два раза приводит к увеличению жесткости в два раза.

Также можно представить исходную проволоку как две одинаковые пружины (две половины) с жесткостью $k_1$ каждая, соединенные последовательно. Общая жесткость $k$ для последовательного соединения находится по формуле: $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_1} = \frac{2}{k_1}$. Из этого соотношения следует, что $k_1 = 2k$.

Ответ: Жесткость половины куска проволоки равна $2k$.