Номер 478, страница 90 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Решение

При выстреле из пружинного пистолета в горизонтальном направлении происходит переход потенциальной энергии упруго деформированной (сжатой) пружины в кинетическую энергию «снаряда». Согласно закону сохранения энергии, в идеальном случае (без учета потерь на трение и сопротивление воздуха) эти энергии равны:

$E_{п} = E_{к}$

Потенциальная энергия сжатой пружины определяется формулой: $E_{п} = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ – жесткость пружины, а $x$ – величина ее сжатия.

Кинетическая энергия снаряда определяется формулой: $E_{к} = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ – масса снаряда, а $v$ – его скорость.

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Из этого уравнения можно выразить модуль скорости снаряда $v$:

$v^2 = \frac{kx^2}{m}$

$v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}} = x\sqrt{\frac{k}{m}}$

Теперь проанализируем, как изменится скорость $v$ в каждом из описанных случаев. Начальные значения величин будем обозначать индексом 1 ($v_1, x_1, k_1, m_1$), а измененные – индексом 2 ($v_2, x_2, k_2, m_2$).

а) при увеличении сжатия пружины в два раза

По условию, $x_2 = 2x_1$. Остальные параметры остаются неизменными: $k_2 = k_1$ и $m_2 = m_1$.

Начальная скорость: $v_1 = x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$.

Новая скорость: $v_2 = x_2\sqrt{\frac{k_2}{m_2}} = (2x_1)\sqrt{\frac{k_1}{m_1}} = 2 \cdot \left(x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\right) = 2v_1$.

Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1} = 2$.

Ответ: Модуль скорости увеличится в 2 раза.

б) при замене пружины другой, жесткость которой в два раза больше

По условию, $k_2 = 2k_1$. Остальные параметры остаются неизменными: $x_2 = x_1$ и $m_2 = m_1$.

Начальная скорость: $v_1 = x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$.

Новая скорость: $v_2 = x_2\sqrt{\frac{k_2}{m_2}} = x_1\sqrt{\frac{2k_1}{m_1}} = \sqrt{2} \cdot \left(x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\right) = \sqrt{2}v_1$.

Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{2}$.

Ответ: Модуль скорости увеличится в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1,41 раза).

в) при увеличении массы «снаряда» в два раза

По условию, $m_2 = 2m_1$. Остальные параметры остаются неизменными: $k_2 = k_1$ и $x_2 = x_1$.

Начальная скорость: $v_1 = x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$.

Новая скорость: $v_2 = x_2\sqrt{\frac{k_2}{m_2}} = x_1\sqrt{\frac{k_1}{2m_1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\right) = \frac{v_1}{\sqrt{2}}$.

Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ответ: Модуль скорости уменьшится в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1,41 раза).