Номер 479, страница 90 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса «снаряда»: $m$

Жесткость пружины: $k$

Сжатие пружины: $x$

Найти:

$v$ - модуль скорости вылета при выстреле вертикально вверх.

Сравнить скорости при вертикальном и горизонтальном выстрелах.

Решение:

Определите модуль скорости v вылета «снаряда» массой m из пружинного пистолета при выстреле вертикально вверх, если жесткость пружины равна k, а ее сжатие x.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии для системы «снаряд – пружина – Земля». Пренебрежем потерями энергии на трение и сопротивление воздуха.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии положение снаряда, когда пружина максимально сжата. В этом начальном состоянии (1) скорость снаряда равна нулю ($v_1=0$), а пружина сжата на величину $x$. Полная механическая энергия системы в начальном состоянии равна потенциальной энергии сжатой пружины:

$E_1 = E_{п.пружины} + E_{п.тяжести} + E_{кинетическая} = \frac{kx^2}{2} + 0 + 0 = \frac{kx^2}{2}$

В конечном состоянии (2), когда снаряд покидает пистолет, пружина полностью распрямлена (ее потенциальная энергия равна нулю). Снаряд к этому моменту поднимается на высоту $h=x$ относительно начального положения и приобретает скорость $v$. Полная механическая энергия системы в конечном состоянии складывается из кинетической энергии снаряда и его потенциальной энергии в поле тяжести Земли:

$E_2 = E_{кинетическая} + E_{п.тяжести} + E_{п.пружины} = \frac{mv^2}{2} + mgx + 0$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы сохраняется, то есть $E_1 = E_2$:

$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgx$

Выразим из этого уравнения скорость $v$. Умножим все члены уравнения на 2:

$kx^2 = mv^2 + 2mgx$

Отсюда находим $mv^2$:

$mv^2 = kx^2 - 2mgx$

Разделив на $m$, получим квадрат скорости:

$v^2 = \frac{kx^2 - 2mgx}{m} = \frac{kx^2}{m} - 2gx$

Следовательно, модуль скорости вылета снаряда равен:

$v = \sqrt{\frac{kx^2}{m} - 2gx}$

Ответ: Модуль скорости вылета снаряда при выстреле вертикально вверх определяется формулой $v = \sqrt{\frac{kx^2}{m} - 2gx}$.

Одинаковы ли модули скорости вылета «снаряда» при выстреле в горизонтальном направлении и вертикально вверх?

Рассмотрим случай выстрела в горизонтальном направлении. В этом случае высота снаряда в процессе выстрела (от момента сжатой пружины до момента вылета) не меняется, поэтому работа силы тяжести равна нулю, и потенциальная энергия снаряда в поле тяжести Земли не изменяется. Обозначим скорость вылета при горизонтальном выстреле как $v_{гор}$.

Закон сохранения энергии в этом случае означает, что вся потенциальная энергия сжатой пружины переходит только в кинетическую энергию снаряда.

Начальная энергия системы: $E_{1} = \frac{kx^2}{2}$

Конечная энергия системы: $E_{2} = \frac{mv_{гор}^2}{2}$

Приравнивая энергии ($E_{1} = E_{2}$), получаем:

$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv_{гор}^2}{2}$

$v_{гор} = \sqrt{\frac{kx^2}{m}}$

Теперь сравним скорости при вертикальном ($v$) и горизонтальном ($v_{гор}$) выстрелах:

$v = \sqrt{\frac{kx^2}{m} - 2gx}$

$v_{гор} = \sqrt{\frac{kx^2}{m}}$

Поскольку сжатие $x > 0$ и ускорение свободного падения $g > 0$, то вычитаемое $2gx$ является положительной величиной. Следовательно, подкоренное выражение для скорости $v$ (вертикальный выстрел) меньше, чем для скорости $v_{гор}$ (горизонтальный выстрел). Это означает, что $v < v_{гор}$.

Ответ: Нет, модули скорости не одинаковы. Модуль скорости вылета «снаряда» при выстреле в горизонтальном направлении больше, чем при выстреле вертикально вверх.