Номер 483, страница 91 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса груза, $m = 1,0 \text{ кг}$
Высота падения, $h = 10 \text{ см}$
Опускание чашки в состоянии равновесия, $\Delta l_1 = 5,0 \text{ см}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$h = 0,10 \text{ м}$
$\Delta l_1 = 0,050 \text{ м}$

Найти:

Максимальное показание весов, $F$ — ?

Решение:

Весы можно рассматривать как пружину. Сначала определим жесткость $k$ этой пружины. В состоянии равновесия, когда груз массой $m$ просто лежит на чашке, сила тяжести $mg$ уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр1}$:

$mg = F_{упр1} = k \Delta l_1$

Отсюда жесткость пружины:

$k = \frac{mg}{\Delta l_1}$

Когда груз падает на чашку с высоты $h$, в момент максимального сжатия пружины на величину $\Delta l_{max}$ вся система (груз и чашка) на мгновение останавливается. В этот момент и будет зафиксировано максимальное показание весов. Для нахождения $\Delta l_{max}$ воспользуемся законом сохранения механической энергии.

За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение чашки весов при максимальном сжатии. Тогда начальная энергия системы (груз на высоте $h$ над чашкой) равна потенциальной энергии груза:

$E_{нач} = mg(h + \Delta l_{max})$

Конечная энергия системы (груз на чашке, сжавшей пружину на $\Delta l_{max}$) равна потенциальной энергии сжатой пружины, так как скорость в этот момент равна нулю, а высота над нулевым уровнем тоже равна нулю:

$E_{кон} = \frac{k (\Delta l_{max})^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_{нач} = E_{кон}$:

$mg(h + \Delta l_{max}) = \frac{k (\Delta l_{max})^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для жесткости $k = \frac{mg}{\Delta l_1}$:

$mg(h + \Delta l_{max}) = \frac{mg (\Delta l_{max})^2}{2 \Delta l_1}$

Сократим на $mg$ (так как $m \neq 0, g \neq 0$):

$h + \Delta l_{max} = \frac{(\Delta l_{max})^2}{2 \Delta l_1}$

Получили квадратное уравнение относительно $\Delta l_{max}$:

$(\Delta l_{max})^2 - 2 \Delta l_1 \Delta l_{max} - 2h \Delta l_1 = 0$

Решим это уравнение. Подставим числовые значения:

$(\Delta l_{max})^2 - 2 \cdot 0,050 \cdot \Delta l_{max} - 2 \cdot 0,10 \cdot 0,050 = 0$

$(\Delta l_{max})^2 - 0,1 \Delta l_{max} - 0,01 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-0,1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,01) = 0,01 + 0,04 = 0,05$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{0,05} = \sqrt{5 \cdot 10^{-2}} \approx 2,236 \cdot 10^{-1} = 0,2236$.

Находим корни уравнения, нас интересует только положительный корень, так как сжатие не может быть отрицательным:

$\Delta l_{max} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{0,1 + 0,2236}{2} = \frac{0,3236}{2} \approx 0,1618 \text{ м}$

Максимальное показание весов $F$ соответствует максимальной силе упругости, возникающей в пружине:

$F = F_{упр.max} = k \Delta l_{max}$

Найдем сначала жесткость $k$:

$k = \frac{1,0 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{0,050 \text{ м}} = 196 \text{ Н/м}$

Теперь найдем максимальную силу:

$F = 196 \text{ Н/м} \cdot 0,1618 \text{ м} \approx 31,71 \text{ Н}$

С учетом значащих цифр (в исходных данных их две), округляем результат.

Ответ: $F \approx 32 \text{ Н}$.