Номер 480, страница 90 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Жесткость первой пружины - $k_1$

Жесткость второй пружины - $k_2$

Масса груза - $m$

Пружины соединены последовательно.

Найти:

Отношение потенциальных энергий $\frac{E_{п1}}{E_{п2}}$

Решение:

Две пружины соединены последовательно, и к концу второй пружины подвешен груз массой $m$. Система находится в равновесии. Поскольку пружины соединены последовательно, сила натяжения, действующая на каждую из них, будет одинаковой. Эта сила равна силе тяжести, действующей на груз (массой пружин пренебрегаем по условию).

Сила упругости, действующая на первую пружину: $F_1 = mg$.

Сила упругости, действующая на вторую пружину: $F_2 = mg$.

Таким образом, $F_1 = F_2 = F = mg$.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется формулой:

$E_п = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ - жесткость пружины, а $x$ - ее удлинение.

Из закона Гука $F = kx$ следует, что удлинение пружины $x = \frac{F}{k}$.

Подставим это выражение в формулу для потенциальной энергии, чтобы выразить ее через силу упругости:

$E_п = \frac{k(\frac{F}{k})^2}{2} = \frac{kF^2}{2k^2} = \frac{F^2}{2k}$

Эта формула удобна тем, что сила $F$ одинакова для обеих пружин.

Запишем выражения для потенциальной энергии каждой пружины:

Потенциальная энергия первой пружины (жесткостью $k_1$):

$E_{п1} = \frac{F^2}{2k_1}$

Потенциальная энергия второй пружины (жесткостью $k_2$):

$E_{п2} = \frac{F^2}{2k_2}$

Теперь найдем искомое отношение потенциальных энергий:

$\frac{E_{п1}}{E_{п2}} = \frac{\frac{F^2}{2k_1}}{\frac{F^2}{2k_2}}$

Сократив в числителе и знаменателе одинаковые множители $F^2$ и $2$, получим:

$\frac{E_{п1}}{E_{п2}} = \frac{\frac{1}{k_1}}{\frac{1}{k_2}} = \frac{1}{k_1} \cdot \frac{k_2}{1} = \frac{k_2}{k_1}$

Ответ: Отношение потенциальных энергий пружин равно $\frac{E_{п1}}{E_{п2}} = \frac{k_2}{k_1}$.