Номер 1007, страница 224 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1007. Проводник длиной $l = 10$ см расположен горизонтально и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля, модуль индукции которого $B = 1,0$ мТл. При напряжении на проводнике $U = 10$ В сила Ампера, действующая на проводник, уравновешивается силой тяжести. Определите плотность вещества проводника, если его удельное сопротивление $\rho = 1,0 \cdot 10^{-6}$ Ом $\cdot$ м.

Дано:

$l = 10 \text{ см}$

$B = 1,0 \text{ мТл}$

$U = 10 \text{ В}$

$\rho = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

$l = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$
$B = 1,0 \text{ мТл} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Найти:

$\rho_{пл}$ - ?

Решение:

Согласно условию задачи, проводник находится в равновесии, следовательно, сила Ампера $F_A$, действующая на него со стороны магнитного поля, уравновешивается силой тяжести $F_g$. Это означает, что модули этих сил равны:

$F_A = F_g$

Сила Ампера, действующая на прямой проводник длиной $l$ с током $I$, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией $B$, вычисляется по формуле:

$F_A = I \cdot B \cdot l \cdot \sin(\alpha)$

где $\alpha$ - угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. По условию, проводник расположен перпендикулярно линиям индукции, поэтому $\alpha = 90^\circ$ и $\sin(90^\circ) = 1$. Таким образом, формула для силы Ампера принимает вид:

$F_A = I \cdot B \cdot l$

Сила тяжести, действующая на проводник, определяется как:

$F_g = m \cdot g$

где $m$ - масса проводника, а $g$ - ускорение свободного падения. Массу проводника можно выразить через его плотность $\rho_{пл}$, длину $l$ и площадь поперечного сечения $S$:

$m = \rho_{пл} \cdot V = \rho_{пл} \cdot S \cdot l$

Тогда сила тяжести равна:

$F_g = \rho_{пл} \cdot S \cdot l \cdot g$

Силу тока $I$ в проводнике найдем, используя закон Ома для участка цепи $I = \frac{U}{R}$ и формулу для сопротивления проводника $R = \frac{\rho \cdot l}{S}$, где $\rho$ - удельное сопротивление материала.

$I = \frac{U}{R} = \frac{U}{\frac{\rho \cdot l}{S}} = \frac{U \cdot S}{\rho \cdot l}$

Теперь приравняем выражения для силы Ампера и силы тяжести, подставив в них полученные формулы:

$(\frac{U \cdot S}{\rho \cdot l}) \cdot B \cdot l = \rho_{пл} \cdot S \cdot l \cdot g$

Сократим одинаковые множители в обеих частях уравнения. Длина $l$ в левой части и площадь поперечного сечения $S$ в обеих частях сокращаются:

$\frac{U \cdot B}{\rho} = \rho_{пл} \cdot l \cdot g$

Из этого уравнения выразим искомую плотность вещества проводника $\rho_{пл}$:

$\rho_{пл} = \frac{U \cdot B}{\rho \cdot l \cdot g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\rho_{пл} = \frac{10 \text{ В} \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}}{1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 0,1 \text{ м} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{10^{-2}}{10^{-6}} = 10^4 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность вещества проводника равна $10000 \text{ кг/м}^3$.