Номер 1008, страница 224 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1008. Прямолинейный проводник сопротивлением $R = 0,2$ Ом и площадью поперечного сечения $S = 0,5 \text{ мм}^2$ расположен горизонтально и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля. Проводник подключен к источнику постоянного тока, ЭДС которого $\mathcal{E} = 2$ В и внутреннее сопротивление $r = 0,1$ Ом. Плотность вещества проводника $\rho = 4 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$. Определите модуль индукции магнитного поля, если сила Ампера и сила тяжести, действующие на проводник, уравновешивают друг друга.

Дано:

$R = 0,2 \text{ Ом}$

$S = 0,5 \text{ мм}^2$

$\mathscr{E} = 2 \text{ В}$

$r = 0,1 \text{ Ом}$

$\rho = 4 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Сила Ампера уравновешивает силу тяжести ($F_A = F_g$).

Перевод в систему СИ:

$S = 0,5 \text{ мм}^2 = 0,5 \times (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,5 \times 10^{-6} \text{ м}^2$

$\rho = 4 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 4 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 4 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{10^{-6} \text{ м}^3} = 4 \times 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

$B$ – модуль индукции магнитного поля.

Решение:

Согласно условию задачи, сила Ампера ($F_A$), действующая на проводник, уравновешивает силу тяжести ($F_g$). Это означает, что их модули равны:

$F_A = F_g$

Сила Ампера, действующая на прямолинейный проводник длиной $L$ с током $I$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$, определяется по формуле:

$F_A = I B L \sin\alpha$

где $\alpha$ – угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. Так как проводник расположен перпендикулярно линиям индукции, $\alpha = 90^\circ$, и $\sin(90^\circ) = 1$. Следовательно:

$F_A = I B L$

Сила тяжести, действующая на проводник, вычисляется по формуле:

$F_g = mg$

где $m$ – масса проводника, а $g$ – ускорение свободного падения. Приравняем выражения для сил:

$I B L = mg$

Массу проводника можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $V$: $m = \rho V$. Объем проводника, в свою очередь, равен произведению площади его поперечного сечения $S$ на длину $L$: $V = S L$.

Таким образом, масса $m = \rho S L$. Подставим это выражение в уравнение равновесия сил:

$I B L = (\rho S L) g$

Длина проводника $L$ в левой и правой частях уравнения сокращается:

$I B = \rho S g$

Из этого уравнения выразим искомую величину – модуль индукции магнитного поля $B$:

$B = \frac{\rho S g}{I}$

Силу тока $I$ в цепи найдем по закону Ома для полной цепи, где проводник является внешней нагрузкой для источника тока:

$I = \frac{\mathscr{E}}{R+r}$

где $\mathscr{E}$ – ЭДС источника, $R$ – сопротивление проводника, $r$ – внутреннее сопротивление источника.

Подставим выражение для силы тока в формулу для $B$:

$B = \frac{\rho S g}{\frac{\mathscr{E}}{R+r}} = \frac{\rho S g (R+r)}{\mathscr{E}}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения в полученную формулу:

$B = \frac{4 \times 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \times 0,5 \times 10^{-6} \text{ м}^2 \times 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \times (0,2 \text{ Ом} + 0,1 \text{ Ом})}{2 \text{ В}}$

$B = \frac{4 \times 10^3 \times 0,5 \times 10^{-6} \times 10 \times 0,3}{2} = \frac{(2 \times 10^3 \times 10^{-6}) \times 10 \times 0,3}{2} = \frac{2 \times 10^{-3} \times 3}{2} = 3 \times 10^{-3} \text{ Тл}$

Ответ: $B = 3 \times 10^{-3} \text{ Тл}$ (или $3 \text{ мТл}$).