Номер 1232, страница 280 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1232. *Две электролитические ванны, содержащие раствор $AgNO_3$ и имеющие различное сопротивление, соединены параллельно. К ним последовательно подключена третья ванна, содержащая раствор $CuSO_4$. Определите массу серебра, выделившегося в первой ванне, если во второй выделилось $m_2 = 60,4$ мг серебра, а в третьей — $m_3 = 41,5$ мг меди.

Дано:

$m_2 = 60.4 \text{ мг}$

$m_3 = 41.5 \text{ мг}$

Ванна 1 и 2: раствор $AgNO_3$ (нитрат серебра)

Ванна 3: раствор $CuSO_4$ (сульфат меди)

Перевод в систему СИ:

$m_2 = 60.4 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

$m_3 = 41.5 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

Найти:

$m_1$

Решение:

Первая и вторая электролитические ванны соединены параллельно, а третья ванна подключена к ним последовательно. Это означает, что общий ток, проходящий через цепь, равен току в третьей ванне ($I_3$), и этот ток разветвляется на токи в первой ($I_1$) и второй ($I_2$) ваннах.

Согласно первому закону Кирхгофа для узла, в котором цепь разветвляется на параллельные участки, имеем:

$I_3 = I_1 + I_2$

Поскольку все ванны подключены к источнику тока одновременно, время электролиза $t$ для них одинаково. Умножим обе части уравнения на $t$:

$I_3 t = I_1 t + I_2 t$

Произведение силы тока на время ($I \cdot t$) равно заряду $q$, прошедшему через электролит. Следовательно, для зарядов, прошедших через ванны, справедливо соотношение:

$q_3 = q_1 + q_2$

Согласно объединенному закону Фарадея для электролиза, масса вещества, выделившегося на электроде, определяется формулой:

$m = \frac{1}{F} \frac{M}{z} q$

где $F$ — постоянная Фарадея, $M$ — молярная масса вещества, $z$ — валентность (число электронов, участвующих в реакции на одном ионе).

Выразим из этой формулы заряд $q$:

$q = \frac{m z F}{M}$

Подставим это выражение для каждой ванны в соотношение для зарядов.

Для серебра ($Ag$) в первой и второй ваннах: реакция восстановления $Ag^+ + e^- \rightarrow Ag$, валентность $z_{Ag} = 1$. Молярная масса серебра $M_{Ag} \approx 108 \text{ г/моль}$.

Для меди ($Cu$) в третьей ванне: реакция восстановления $Cu^{2+} + 2e^- \rightarrow Cu$, валентность $z_{Cu} = 2$. Молярная масса меди $M_{Cu} \approx 63.5 \text{ г/моль}$.

Получаем уравнение:

$\frac{m_3 z_{Cu} F}{M_{Cu}} = \frac{m_1 z_{Ag} F}{M_{Ag}} + \frac{m_2 z_{Ag} F}{M_{Ag}}$

Сократим постоянную Фарадея $F$ и подставим значения валентностей:

$\frac{m_3 \cdot 2}{M_{Cu}} = \frac{m_1 \cdot 1}{M_{Ag}} + \frac{m_2 \cdot 1}{M_{Ag}}$

$\frac{2 m_3}{M_{Cu}} = \frac{m_1 + m_2}{M_{Ag}}$

Выразим из этого уравнения искомую массу серебра $m_1$:

$m_1 + m_2 = \frac{2 m_3 M_{Ag}}{M_{Cu}}$

$m_1 = \frac{2 m_3 M_{Ag}}{M_{Cu}} - m_2$

Подставим числовые значения. Для удобства можно оставить массы в миллиграммах, так как они имеют одинаковую размерность.

$m_1 = \frac{2 \cdot 41.5 \text{ мг} \cdot 108 \text{ г/моль}}{63.5 \text{ г/моль}} - 60.4 \text{ мг}$

$m_1 = \frac{83 \cdot 108}{63.5} \text{ мг} - 60.4 \text{ мг}$

$m_1 \approx 141.17 \text{ мг} - 60.4 \text{ мг}$

$m_1 \approx 80.77 \text{ мг}$

Округляя до трех значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$m_1 \approx 80.8 \text{ мг}$

Ответ: масса серебра, выделившегося в первой ванне, равна 80,8 мг.