Номер 611, страница 132 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

611. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены одинаковые точечные заряды $q_1 = q_2 = 2,8 \text{ мкКл}$. Какой точечный заряд следует поместить в середину стороны, соединяющей эти заряды, чтобы напряженность электростатического поля в третьей вершине треугольника стала равной нулю?

Дано:

$q_1 = q_2 = q = 2,8$ мкКл

$q = 2,8 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

$q_3$ -?

Решение:

Пусть заряды $q_1$ и $q_2$ находятся в вершинах A и B равностороннего треугольника ABC, а третья вершина, в которой мы ищем напряженность, — это C. Обозначим сторону треугольника как $a$. Искомый заряд $q_3$ помещен в точку M — середину стороны AB.

Напряженность электростатического поля в точке C создается тремя зарядами: $q_1$, $q_2$ и $q_3$. По принципу суперпозиции полей, результирующая напряженность $\vec{E}$ в точке C равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3}$

По условию задачи, результирующая напряженность в точке C должна быть равна нулю: $\vec{E} = 0$.

Следовательно, $\vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3} = 0$, или $\vec{E_3} = -(\vec{E_1} + \vec{E_2})$.

Это означает, что вектор напряженности $\vec{E_3}$, создаваемый зарядом $q_3$, должен быть равен по модулю и противоположен по направлению вектору суммы напряженностей $\vec{E_{12}} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Найдем вектор $\vec{E_{12}}$. Заряды $q_1$ и $q_2$ положительны и равны ($q_1 = q_2 = q$). Расстояния от них до точки C одинаковы и равны стороне треугольника $a$. Значит, модули напряженностей $E_1$ и $E_2$ равны:

$E_1 = E_2 = k \frac{q}{a^2}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены вдоль сторон AC и BC от зарядов. Угол между этими векторами равен углу при вершине равностороннего треугольника, то есть $60^\circ$.

Из соображений симметрии, вектор суммарной напряженности $\vec{E_{12}}$ будет направлен вдоль высоты (и медианы) CM, проведенной из вершины C к стороне AB. Модуль этого вектора можно найти, спроецировав векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ на направление CM. Углы между векторами $\vec{E_1}$, $\vec{E_2}$ и направлением CM равны $30^\circ$.

$E_{12} = E_1 \cos(30^\circ) + E_2 \cos(30^\circ) = 2 E_1 \cos(30^\circ) = 2 \cdot (k \frac{q}{a^2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = k \frac{q\sqrt{3}}{a^2}$

Теперь рассмотрим напряженность $\vec{E_3}$, создаваемую зарядом $q_3$ в точке C. Заряд $q_3$ находится в точке M на расстоянии, равном высоте треугольника $h = CM$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = a \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Модуль напряженности $E_3$ равен:

$E_3 = k \frac{|q_3|}{h^2} = k \frac{|q_3|}{(a\sqrt{3}/2)^2} = k \frac{|q_3|}{3a^2/4} = k \frac{4|q_3|}{3a^2}$

Вектор $\vec{E_3}$ также направлен вдоль прямой CM. Чтобы он был противоположен вектору $\vec{E_{12}}$ (который направлен от M к C), вектор $\vec{E_3}$ должен быть направлен от C к M. Это возможно только если заряд $q_3$ отрицательный.

Приравняем модули $E_3$ и $E_{12}$:

$k \frac{4|q_3|}{3a^2} = k \frac{q\sqrt{3}}{a^2}$

Сократив $k$ и $a^2$, получим:

$\frac{4|q_3|}{3} = q\sqrt{3}$

$|q_3| = \frac{3\sqrt{3}}{4}q$

Так как мы установили, что заряд $q_3$ должен быть отрицательным, то:

$q_3 = -\frac{3\sqrt{3}}{4}q$

Подставим числовое значение $q = 2,8$ мкКл:

$q_3 = -\frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 2,8 \text{ мкКл} = -3\sqrt{3} \cdot 0,7 \text{ мкКл} = -2,1\sqrt{3} \text{ мкКл}$

Вычислим приближенное значение: $\sqrt{3} \approx 1,732$

$q_3 \approx -2,1 \cdot 1,732 \text{ мкКл} \approx -3,6372 \text{ мкКл} \approx -3,64$ мкКл

Ответ: $q_3 = -2,1\sqrt{3}$ мкКл, что приблизительно равно $-3,64$ мкКл.