Номер 615, страница 132 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

615. Точечные заряды $q_1 = 5,0 \text{ нКл}$ и $q_2 = -5,0 \text{ нКл}$ расположены в вакууме в двух вершинах равностороннего треугольника, сторона которого $r = 30 \text{ см}$. Определите модуль напряженности электростатического поля в третьей вершине треугольника.

Дано:

$q_1 = 5,0 \text{ нКл} = 5,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_2 = -5,0 \text{ нКл} = -5,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}$
$r = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$
$k = 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$E$

Решение:

Напряженность электростатического поля в третьей вершине треугольника (назовем ее точкой A) является векторной суммой напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов $q_1$ и $q_2$ в этой точке, согласно принципу суперпозиции:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$

Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом, определяется по формуле:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$

Так как треугольник равносторонний, расстояние от каждого заряда до третьей вершины равно стороне треугольника $r$. Поскольку модули зарядов одинаковы ($|q_1| = |q_2| = q$), то и модули напряженностей полей, создаваемых ими в точке A, будут равны:

$E_1 = k \frac{|q_1|}{r^2}$
$E_2 = k \frac{|q_2|}{r^2}$
$E_1 = E_2$

Вычислим это значение:

$E_1 = E_2 = 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \times \frac{5,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}}{(0,3 \text{ м})^2} = \frac{45}{0,09} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 500 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Вектор напряженности $\vec{E_1}$ от положительного заряда $q_1$ направлен от заряда. Вектор $\vec{E_2}$ от отрицательного заряда $q_2$ направлен к заряду. Угол внутри равностороннего треугольника равен $60^\circ$. Угол $\alpha$ между векторами $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ в третьей вершине будет равен $120^\circ$.

Модуль результирующего вектора напряженности $E$ найдем по теореме косинусов:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1 E_2 \cos \alpha}$

Подставим наши значения, учитывая, что $E_1 = E_2$:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_1^2 + 2E_1^2 \cos(120^\circ)} = \sqrt{2E_1^2 + 2E_1^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{2E_1^2 - E_1^2} = \sqrt{E_1^2} = E_1$

Таким образом, модуль результирующей напряженности равен модулю напряженности поля от одного заряда.

$E = 500 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Ответ: $500 \text{ Н/Кл}$.