Номер 620, страница 133 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

620. В двух вершинах правильного треугольника со стороной $a = 30$ см в вакууме находятся разные по знаку, но равные по величине точечные заряды $|q_1| = |q_2| = 25$ пКл, а в третьей вершине — точечный заряд $q_3 = 55$ пКл. Определите модуль напряженности поля в центре треугольника.

Дано:

$a = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

$|q_1| = |q_2| = 25 \text{ пКл} = 25 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}$

$q_3 = 55 \text{ пКл} = 55 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная в вакууме)

Найти:

$E$ - модуль напряженности поля в центре треугольника.

Решение:

Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность электрического поля в центре треугольника $\vec{E}$ равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из трех зарядов:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3}$

Центр правильного треугольника (точка пересечения медиан, высот и биссектрис) равноудален от его вершин. Найдем это расстояние $r$. Оно равно радиусу описанной около треугольника окружности. Высота $h$ правильного треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Расстояние от вершины до центра $r$ составляет $2/3$ высоты:

$r = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Вычислим квадрат этого расстояния, который понадобится для дальнейших расчетов:

$r^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{3} = \frac{(0.3 \text{ м})^2}{3} = \frac{0.09 \text{ м}^2}{3} = 0.03 \text{ м}^2$

Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$, вычисляется по формуле:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$

Вычислим модули напряженностей для каждого заряда в центре треугольника:

$E_1 = E_2 = k \frac{|q_1|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{25 \cdot 10^{-12}}{0.03} = \frac{225 \cdot 10^{-3}}{0.03} = 7500 \cdot 10^{-3} = 7.5 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

$E_3 = k \frac{|q_3|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{55 \cdot 10^{-12}}{0.03} = \frac{495 \cdot 10^{-3}}{0.03} = 16500 \cdot 10^{-3} = 16.5 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Теперь выполним векторное сложение. Пусть $q_1 = +25$ пКл, а $q_2 = -25$ пКл. Вектор напряженности $\vec{E_1}$ от положительного заряда $q_1$ направлен от него. Вектор $\vec{E_2}$ от отрицательного заряда $q_2$ направлен к нему. Вектор $\vec{E_3}$ от положительного заряда $q_3$ направлен от него. Угол между радиус-векторами, проведенными из центра к вершинам, составляет $120^\circ$.

Сначала найдем сумму векторов $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$. Угол между этими векторами составляет $60^\circ$. Так как модули $E_1$ и $E_2$ равны, модуль их суммы $\vec{E}_{12} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$ можно найти по правилу параллелограмма (который в данном случае является ромбом):

$E_{12} = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2\cos(60^\circ)} = \sqrt{E_1^2 + E_1^2 + 2E_1^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3E_1^2} = E_1\sqrt{3}$

Направление результирующего вектора $\vec{E}_{12}$ будет перпендикулярно направлению вектора $\vec{E}_3$. Таким образом, итоговый вектор $\vec{E}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются векторы $\vec{E}_{12}$ и $\vec{E}_3$.

Модуль результирующей напряженности $E$ найдем по теореме Пифагора:

$E = \sqrt{E_{12}^2 + E_3^2} = \sqrt{(E_1\sqrt{3})^2 + E_3^2} = \sqrt{3E_1^2 + E_3^2}$

Подставим вычисленные значения модулей напряженностей:

$E = \sqrt{3 \cdot (7.5)^2 + (16.5)^2} = \sqrt{3 \cdot 56.25 + 272.25} = \sqrt{168.75 + 272.25} = \sqrt{441} = 21 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Ответ: модуль напряженности поля в центре треугольника равен $21 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$.