Номер 616, страница 132 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

616. В двух вершинах равностороннего треугольника находятся положительные точечные заряды, а в третьей — отрицательный. Модули всех зарядов одинаковы. Определите модуль напряженности электростатического поля, созданного этими зарядами, в центре треугольника, если в точке, расположенной на середине стороны треугольника, соединяющего одноименные заряды, $E=10 \frac{\text{В}}{\text{М}}$.

Дано:

Равносторонний треугольник АВС.

Заряды в вершинах: $q_A = +q$, $q_B = +q$, $q_C = -q$.

Точка М - середина стороны АВ, соединяющей одноименные заряды.

Напряженность поля в точке М: $E_M = 10 \text{ В/м}$.

Найти:

Модуль напряженности поля в центре треугольника О: $E_O$

Решение:

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$, а модуль каждого заряда равен $q$.

1. Найдем напряженность электрического поля в точке М, которая является серединой стороны АВ, соединяющей одноименные (положительные) заряды.

Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность в точке М равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из трех зарядов: $\vec{E}_M = \vec{E}_{MA} + \vec{E}_{MB} + \vec{E}_{MC}$.

Поля, создаваемые зарядами $q_A$ и $q_B$ в точке М, равны по модулю, так как расстояния от этих зарядов до точки М одинаковы и равны $a/2$. Модули напряженностей равны $E_{MA} = E_{MB} = k\frac{q}{(a/2)^2}$. Вектор $\vec{E}_{MA}$ направлен от заряда А (вдоль прямой АВ), а вектор $\vec{E}_{MB}$ - от заряда В (вдоль той же прямой, но в противоположную сторону). Так как эти векторы равны по модулю и противоположны по направлению, их сумма равна нулю: $\vec{E}_{MA} + \vec{E}_{MB} = 0$.

Следовательно, результирующее поле в точке М создается только зарядом $q_C = -q$. Расстояние от вершины С до точки М равно высоте треугольника $h$: $h = a \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Напряженность поля $\vec{E}_{MC}$ направлена к отрицательному заряду $q_C$. Ее модуль равен модулю результирующего поля в точке М:

$E_M = E_{MC} = k\frac{|q_C|}{h^2} = k\frac{q}{(a\sqrt{3}/2)^2} = k\frac{q}{3a^2/4} = \frac{4kq}{3a^2}$.

По условию $E_M = 10 \text{ В/м}$, значит, мы можем записать: $10 = \frac{4kq}{3a^2}$.

Из этого соотношения выразим величину $\frac{kq}{a^2}$, которая нам понадобится в дальнейшем: $\frac{kq}{a^2} = \frac{10 \cdot 3}{4} = 7.5 \text{ В/м}$.

2. Теперь найдем напряженность поля в центре треугольника О.

Центр О равностороннего треугольника находится на одинаковом расстоянии $R$ от каждой из трех вершин. Это расстояние равно $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Поэтому модули напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в центре треугольника, одинаковы:

$E_{OA} = E_{OB} = E_{OC} = E_0 = k\frac{q}{R^2} = k\frac{q}{(a/\sqrt{3})^2} = \frac{3kq}{a^2}$.

Результирующая напряженность в центре О находится по принципу суперпозиции: $\vec{E}_O = \vec{E}_{OA} + \vec{E}_{OB} + \vec{E}_{OC}$.

Векторы $\vec{E}_{OA}$ и $\vec{E}_{OB}$ направлены от положительных зарядов $q_A$ и $q_B$ (то есть от вершин А и В к центру О и далее), а вектор $\vec{E}_{OC}$ направлен к отрицательному заряду $q_C$ (от центра О к вершине С).

Для нахождения векторной суммы воспользуемся следующим приемом. Если бы во всех трех вершинах находились одинаковые положительные заряды $+q$, то из соображений симметрии результирующая напряженность в центре была бы равна нулю: $\vec{E}_{OA} + \vec{E}_{OB} + \vec{E}'_{OC} = 0$, где $\vec{E}'_{OC}$ - поле от гипотетического заряда $+q$ в вершине C. Отсюда следует, что $\vec{E}_{OA} + \vec{E}_{OB} = -\vec{E}'_{OC}$.

В нашей задаче в вершине С находится заряд $-q$, который создает поле $\vec{E}_{OC}$. Поле $\vec{E}'_{OC}$ от заряда $+q$ было бы направлено от вершины С, а поле $\vec{E}_{OC}$ от заряда $-q$ направлено к вершине С. Следовательно, векторы имеют одинаковый модуль $E_0$, но противоположные направления: $\vec{E}_{OC} = -\vec{E}'_{OC}$.

Тогда суммарная напряженность в центре О равна:

$\vec{E}_O = (\vec{E}_{OA} + \vec{E}_{OB}) + \vec{E}_{OC} = (-\vec{E}'_{OC}) + (-\vec{E}'_{OC}) = -2\vec{E}'_{OC}$.

Модуль результирующей напряженности равен $E_O = |-2\vec{E}'_{OC}| = 2E'_{OC} = 2E_0$, так как модуль $E'_{OC}$ равен $E_0$.

Подставим выражение для $E_0$: $E_O = 2 \cdot \frac{3kq}{a^2} = 6 \frac{kq}{a^2}$.

3. Рассчитаем числовое значение $E_O$, используя найденное ранее соотношение для $\frac{kq}{a^2}$:

$E_O = 6 \cdot \left(\frac{kq}{a^2}\right) = 6 \cdot 7.5 = 45 \text{ В/м}$.

Ответ: модуль напряженности электростатического поля в центре треугольника равен 45 В/м.