Номер 619, страница 133 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

619. В вакууме в двух вершинах правильного треугольника со стороной $a = 20$ см находятся точечные заряды по $q_1 = 14$ пКл каждый, а в третьей вершине — точечный заряд $q_2 = -2$ пКл. Определите модуль напряженности электростатического поля в середине стороны, соединяющей разноименные заряды.

Дано:

$a = 20 \text{ см}$

$q_1 = 14 \text{ пКл}$

$q_2 = -2 \text{ пКл}$

$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

$a = 0.2 \text{ м}$
$q_1 = 14 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}$
$q_2 = -2 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}$

Найти:

$E$

Решение:

Пусть вершины правильного треугольника — A, B и C. В вершинах A и B находятся заряды $q_1$, а в вершине C — заряд $q_2$. Сторона треугольника равна $a$. Требуется найти модуль напряженности электростатического поля в точке M — середине стороны AC, соединяющей разноименные заряды $q_1$ и $q_2$.

Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность поля в точке M равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из трех зарядов:

$\vec{E} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C$

Найдем напряженность поля, создаваемую каждым зарядом в точке M. Модуль напряженности поля точечного заряда определяется формулой: $E = k \frac{|q|}{r^2}$.

1. Поле, создаваемое зарядом $q_1$ в вершине A. Расстояние от A до M равно $r_{AM} = a/2$. Вектор напряженности $\vec{E}_A$ направлен от положительного заряда $q_1$ вдоль стороны AC. Его модуль равен:

$E_A = k \frac{q_1}{(a/2)^2} = \frac{4kq_1}{a^2}$

2. Поле, создаваемое зарядом $q_2$ в вершине C. Расстояние от C до M равно $r_{CM} = a/2$. Вектор напряженности $\vec{E}_C$ направлен к отрицательному заряду $q_2$ вдоль стороны AC. Его модуль равен:

$E_C = k \frac{|q_2|}{(a/2)^2} = \frac{4k|q_2|}{a^2}$

Векторы $\vec{E}_A$ и $\vec{E}_C$ направлены в одну сторону (вдоль прямой AC от A к C). Их результирующий вектор $\vec{E}_{AC}$ имеет модуль, равный сумме их модулей:

$E_{AC} = E_A + E_C = \frac{4k}{a^2}(q_1 + |q_2|)$

3. Поле, создаваемое зарядом $q_1$ в вершине B. Расстояние от B до M равно высоте правильного треугольника: $r_{BM} = h = a \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Вектор напряженности $\vec{E}_B$ направлен от положительного заряда $q_1$ по линии, соединяющей B и M. Его модуль равен:

$E_B = k \frac{q_1}{r_{BM}^2} = k \frac{q_1}{(a\sqrt{3}/2)^2} = \frac{4kq_1}{3a^2}$

Вектор $\vec{E}_{AC}$ лежит на стороне AC, а вектор $\vec{E}_B$ направлен вдоль высоты BM, опущенной на эту сторону. Следовательно, векторы $\vec{E}_{AC}$ и $\vec{E}_B$ взаимно перпендикулярны. Модуль результирующего вектора $\vec{E}$ найдем по теореме Пифагора:

$E = \sqrt{E_{AC}^2 + E_B^2}$

Подставим выражения для модулей:

$E = \sqrt{\left(\frac{4k}{a^2}(q_1 + |q_2|)\right)^2 + \left(\frac{4kq_1}{3a^2}\right)^2} = \frac{4k}{a^2} \sqrt{(q_1 + |q_2|)^2 + \left(\frac{q_1}{3}\right)^2}$

Выполним вычисления:

$q_1 + |q_2| = 14 \cdot 10^{-12} \text{ Кл} + |-2 \cdot 10^{-12}| \text{ Кл} = 16 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}$

$E = \frac{4 \cdot 9 \cdot 10^9}{0.2^2} \sqrt{(16 \cdot 10^{-12})^2 + \left(\frac{14 \cdot 10^{-12}}{3}\right)^2}$

$E = \frac{36 \cdot 10^9}{0.04} \cdot \sqrt{10^{-24} \cdot \left(16^2 + \left(\frac{14}{3}\right)^2\right)}$

$E = 900 \cdot 10^9 \cdot 10^{-12} \sqrt{256 + \frac{196}{9}} = 0.9 \sqrt{\frac{2304 + 196}{9}}$

$E = 0.9 \sqrt{\frac{2500}{9}} = 0.9 \cdot \frac{\sqrt{2500}}{\sqrt{9}} = 0.9 \cdot \frac{50}{3}$

$E = 0.3 \cdot 50 = 15 \text{ Н/Кл}$

Ответ: модуль напряженности электростатического поля равен 15 Н/Кл.