Номер 613, страница 132 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

613. Два точечных заряда, модуль каждого из которых $q = 6,25$ мкКл, расположены в вакууме на расстоянии $r_1 = 6,0$ см друг от друга. Определите модуль напряженности поля в точке, удаленной на $r_2 = 5,0$ см от каждого из зарядов. Решите задачу для случаев:
а) оба заряда положительные;
б) один заряд положительный, а другой — отрицательный.

Дано:

$q = 6,25 \text{ мкКл} = 6,25 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$r_1 = 6,0 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$

$r_2 = 5,0 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$E_a, E_b$

Решение:

Два заряда и точка, в которой определяется напряженность, образуют равнобедренный треугольник с основанием $r_1$ и боковыми сторонами $r_2$.

Согласно принципу суперпозиции, результирующая напряженность электрического поля $\vec{E}$ в данной точке равна векторной сумме напряженностей полей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом, вычисляется по формуле $E = k \frac{|q|}{r^2}$. Так как модули зарядов и расстояния до точки одинаковы, то и модули напряженностей, создаваемых каждым зарядом, будут равны:

$E_1 = E_2 = E_0 = k \frac{q}{r_2^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{6,25 \cdot 10^{-6}}{(0,05)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{6,25 \cdot 10^{-6}}{2,5 \cdot 10^{-3}} = 2,25 \cdot 10^7 \text{ В/м}$

Далее рассмотрим два случая.

a) оба заряда положительные

Когда оба заряда положительны ($q_1 = q_2 = +q$), векторы напряженности $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены от своих зарядов. При векторном сложении, компоненты векторов, перпендикулярные высоте треугольника, опущенной на основание $r_1$, взаимно компенсируются. Компоненты, параллельные высоте, складываются. Модуль результирующей напряженности равен $E_a = 2 E_0 \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором напряженности (и боковой стороной $r_2$) и высотой треугольника $h$.

Найдем высоту треугольника $h$ по теореме Пифагора:

$h = \sqrt{r_2^2 - (\frac{r_1}{2})^2} = \sqrt{(0,05)^2 - (0,03)^2} = \sqrt{0,0025 - 0,0009} = \sqrt{0,0016} = 0,04 \text{ м}$

Тогда косинус угла $\alpha$ равен:

$\cos\alpha = \frac{h}{r_2} = \frac{0,04}{0,05} = 0,8$

Теперь можем найти модуль результирующей напряженности:

$E_a = 2 \cdot (2,25 \cdot 10^7) \cdot 0,8 = 3,6 \cdot 10^7 \text{ В/м}$

Ответ: $3,6 \cdot 10^7 \text{ В/м}$.

б) один заряд положительный, а другой — отрицательный

Когда один заряд положительный ($q_1 = +q$), а другой отрицательный ($q_2 = -q$), вектор $\vec{E_1}$ направлен от положительного заряда, а вектор $\vec{E_2}$ — к отрицательному. При их сложении компоненты вдоль высоты $h$ взаимно компенсируются, а компоненты, параллельные основанию $r_1$, складываются. Модуль результирующей напряженности равен $E_b = 2 E_0 \sin\alpha$.

Синус угла $\alpha$ из того же треугольника равен:

$\sin\alpha = \frac{r_1/2}{r_2} = \frac{0,03}{0,05} = 0,6$

Найдем модуль результирующей напряженности:

$E_b = 2 \cdot (2,25 \cdot 10^7) \cdot 0,6 = 2,7 \cdot 10^7 \text{ В/м}$

Ответ: $2,7 \cdot 10^7 \text{ В/м}$.