Номер 618, страница 133 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

618. Три одинаковых маленьких металлических шарика, имеющие заряды $q_1 = 30,0$ нКл, $q_2 = -20,0$ нКл и $q_3 = 5,0$ нКл, сначала привели в соприкосновение, а затем развели их и поместили в вакууме в вершины квадрата со стороной $a = 10$ см. Определите модуль напряженности электростатического поля в четвертой вершине квадрата, если все шарики после соприкосновения были заряженными.

Дано:

$q_1 = 30,0$ нКл
$q_2 = -20,0$ нКл
$q_3 = 5,0$ нКл
$a = 10$ см

В системе СИ:
$q_1 = 30,0 \times 10^{-9}$ Кл
$q_2 = -20,0 \times 10^{-9}$ Кл
$q_3 = 5,0 \times 10^{-9}$ Кл
$a = 0,10$ м

Найти:

Модуль напряженности электростатического поля в четвертой вершине квадрата, $E$.

Решение:

1. Сначала найдем заряд каждого шарика после того, как их привели в соприкосновение. Поскольку шарики одинаковые и проводящие, общий заряд распределится между ними поровну. Согласно закону сохранения электрического заряда, суммарный заряд системы до и после соприкосновения одинаков.

Суммарный заряд $Q$: $Q = q_1 + q_2 + q_3 = 30,0 \times 10^{-9} \text{ Кл} - 20,0 \times 10^{-9} \text{ Кл} + 5,0 \times 10^{-9} \text{ Кл} = 15,0 \times 10^{-9}$ Кл.

После соприкосновения и разделения заряд каждого из трех шариков станет равным $q'$: $q' = \frac{Q}{3} = \frac{15,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}}{3} = 5,00 \times 10^{-9}$ Кл.

2. Теперь разместим эти три шарика в вершинах квадрата со стороной $a$. Пусть шарики находятся в вершинах A, B и C. Нам нужно найти напряженность поля в четвертой вершине D. Для удобства расчетов введем систему координат так, чтобы вершина B находилась в начале координат (0,0), вершина C — на оси Ox в точке (a,0), а вершина A — на оси Oy в точке (0,a). Тогда четвертая вершина D будет иметь координаты (a,a).

3. Напряженность электрического поля в точке D создается тремя зарядами. Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая напряженность $\vec{E}$ в точке D равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C$.

4. Рассчитаем вектор напряженности от каждого заряда. Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом, определяется формулой $E = k \frac{|q|}{r^2}$, где $k \approx 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

а) Поле от заряда в точке A(0, a). Расстояние $r_{AD} = a$. Заряд $q'$ положительный, поэтому вектор $\vec{E}_A$ направлен от заряда, то есть вдоль оси Ox. $E_A = k \frac{q'}{a^2}$. Вектор: $\vec{E}_A = (E_A, 0)$.

б) Поле от заряда в точке C(a, 0). Расстояние $r_{CD} = a$. Вектор $\vec{E}_C$ направлен от заряда, то есть вдоль оси Oy. $E_C = k \frac{q'}{a^2}$. Вектор: $\vec{E}_C = (0, E_C)$.

в) Поле от заряда в точке B(0, 0). Расстояние $r_{BD} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ квадрата). Вектор $\vec{E}_B$ направлен вдоль диагонали BD. $E_B = k \frac{q'}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q'}{2a^2}$.
Вектор $\vec{E}_B$ направлен под углом $45^\circ$ к осям Ox и Oy. Его проекции на оси: $E_{Bx} = E_B \cos 45^\circ = k \frac{q'}{2a^2} \frac{\sqrt{2}}{2} = k \frac{q'\sqrt{2}}{4a^2}$.
$E_{By} = E_B \sin 45^\circ = k \frac{q'}{2a^2} \frac{\sqrt{2}}{2} = k \frac{q'\sqrt{2}}{4a^2}$.

5. Найдем проекции результирующего вектора напряженности $\vec{E}$: $E_x = E_{Ax} + E_{Bx} + E_{Cx} = k \frac{q'}{a^2} + k \frac{q'\sqrt{2}}{4a^2} + 0 = k \frac{q'}{a^2} (1 + \frac{\sqrt{2}}{4})$.
$E_y = E_{Ay} + E_{By} + E_{Cy} = 0 + k \frac{q'\sqrt{2}}{4a^2} + k \frac{q'}{a^2} = k \frac{q'}{a^2} (1 + \frac{\sqrt{2}}{4})$.

6. Модуль результирующего вектора $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}$. Поскольку $E_x = E_y$, имеем: $E = \sqrt{2E_x^2} = E_x\sqrt{2} = k \frac{q'}{a^2} (1 + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sqrt{2} = k \frac{q'}{a^2} (\sqrt{2} + \frac{2}{4}) = k \frac{q'}{a^2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2})$.

7. Подставим числовые значения и произведем расчет: $E = (9 \times 10^9) \frac{5,00 \times 10^{-9}}{(0,10)^2} (\sqrt{2} + 0,5) = \frac{45}{0,01} (\sqrt{2} + 0,5) \text{ В/м}$.
$E = 4500 \times (1,414 + 0,5) = 4500 \times 1,914 \approx 8613$ В/м.

Наименьшая точность исходных данных ($a=10$ см и $q_3=5,0$ нКл) — две значащие цифры. Округлим результат до двух значащих цифр. $E \approx 8,6 \times 10^3$ В/м = 8,6 кВ/м.

Ответ: $E \approx 8,6$ кВ/м.