Номер 617, страница 133 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

617. В вакууме в вершинах двух острых углов ромба, составленного из двух равносторонних треугольников со стороной $a$, помещены положительные заряды $q_1$. В вершине одного из тупых углов находится положительный заряд $q_2$. Определите модуль напряженности электростатического поля в четвертой вершине ромба.

Дано:

Ромб, составленный из двух равносторонних треугольников со стороной $a$.
В вершинах двух острых углов находятся положительные заряды $q_1$.
В вершине одного из тупых углов находится положительный заряд $q_2$.
Среда – вакуум (электрическая постоянная $\epsilon_0$).

Найти:

Модуль напряженности электростатического поля в четвертой вершине ромба $E$.

Решение:

1. Определим геометрию ромба. Ромб, составленный из двух равносторонних треугольников со стороной $a$, имеет все четыре стороны равными $a$. Одна из его диагоналей также равна $a$. Пусть это будет диагональ, соединяющая вершины B и D. Тогда треугольники ABD и CBD являются равносторонними.

В этом случае углы при вершинах A и C будут тупыми и равными $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Углы при вершинах B и D будут острыми и равными $60^\circ$.

2. Согласно условию, положительные заряды $q_1$ находятся в вершинах острых углов, то есть в точках B и D. Положительный заряд $q_2$ находится в вершине одного из тупых углов, например, в точке A. Нам нужно найти напряженность поля в четвертой вершине — в точке C (другой тупой угол).

3. Воспользуемся принципом суперпозиции. Напряженность поля в точке C равна векторной сумме напряженностей, создаваемых зарядами в точках A, B и D:
$\vec{E} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_D$

4. Определим расстояния от зарядов до точки C:
- Расстояние от заряда $q_2$ в точке A до точки C – это длина большей диагонали. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Длина короткой диагонали BD равна $a$. Длина длинной диагонали AC равна $2 \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = 2 \sqrt{3a^2/4} = a\sqrt{3}$. Итак, $r_{AC} = a\sqrt{3}$.
- Расстояние от заряда $q_1$ в точке B до точки C – это сторона ромба. Итак, $r_{BC} = a$.
- Расстояние от заряда $q_1$ в точке D до точки C – это сторона ромба. Итак, $r_{DC} = a$.

Ой, я перепутал диагонали в пункте 1. Давайте исправим.

Повторное решение с верной геометрией:

1. Если ромб составлен из двух равносторонних треугольников со стороной $a$, то его стороны равны $a$, а одна из диагоналей (короткая) также равна $a$. Пусть вершины ромба A, B, C, D. Пусть короткая диагональ - AC, тогда треугольники ABC и ADC - равносторонние.
- Углы при вершинах B и D равны $60^\circ$ (острые).
- Углы при вершинах A и C равны $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$ (тупые).

2. Расположение зарядов:
- В острых углах (B и D) находятся заряды $q_1$.
- В одном из тупых углов (пусть A) находится заряд $q_2$.
- Искомое поле находится в четвертой вершине (C), которая является другим тупым углом.

3. Расстояния от зарядов до точки C:
- Расстояние от $q_2$ в точке A до точки C (короткая диагональ): $r_{AC} = a$.
- Расстояние от $q_1$ в точке B до точки C (сторона ромба): $r_{BC} = a$.
- Расстояние от $q_1$ в точке D до точки C (сторона ромба): $r_{DC} = a$.

4. По принципу суперпозиции, результирующее поле в точке C есть векторная сумма полей $\vec{E}_A$, $\vec{E}_B$ и $\vec{E}_D$.

- Напряженность от заряда $q_2$ в точке A: $\vec{E}_A$. Модуль $E_A = k\frac{|q_2|}{r_{AC}^2} = k\frac{q_2}{a^2}$. Вектор направлен вдоль диагонали AC, от A к C (поскольку $q_2>0$).

- Напряженность от заряда $q_1$ в точке B: $\vec{E}_B$. Модуль $E_B = k\frac{|q_1|}{r_{BC}^2} = k\frac{q_1}{a^2}$. Вектор направлен вдоль стороны BC, от B к C.

- Напряженность от заряда $q_1$ в точке D: $\vec{E}_D$. Модуль $E_D = k\frac{|q_1|}{r_{DC}^2} = k\frac{q_1}{a^2}$. Вектор направлен вдоль стороны DC, от D к C.

5. Сложим векторы. Сначала найдем сумму векторов $\vec{E}_B$ и $\vec{E}_D$. Их модули равны ($E_B = E_D = E_1 = k\frac{q_1}{a^2}$), а угол между ними равен углу BCD, который составляет $120^\circ$. Результирующий вектор $\vec{E}_{BD} = \vec{E}_B + \vec{E}_D$ будет направлен по биссектрисе угла BCD, то есть вдоль диагонали AC.

Модуль вектора $\vec{E}_{BD}$ найдем по теореме косинусов:
$E_{BD}^2 = E_B^2 + E_D^2 + 2E_B E_D \cos(120^\circ) = E_1^2 + E_1^2 + 2E_1^2(-\frac{1}{2}) = 2E_1^2 - E_1^2 = E_1^2$
$E_{BD} = E_1 = k\frac{q_1}{a^2}$

Векторы $\vec{E}_B$ и $\vec{E}_D$ направлены к точке C, поэтому их сумма $\vec{E}_{BD}$ направлена от C к A.

6. Теперь сложим вектор $\vec{E}_{BD}$ с вектором $\vec{E}_A$.
- Вектор $\vec{E}_A$ направлен от A к C.
- Вектор $\vec{E}_{BD}$ направлен от C к A.

Оба вектора лежат на одной прямой (диагонали AC), но направлены в противоположные стороны. Поэтому модуль результирующего вектора напряженности равен модулю разности их модулей:
$E = |\vec{E}| = |\vec{E}_A + \vec{E}_{BD}| = |E_A - E_{BD}| = |k\frac{q_2}{a^2} - k\frac{q_1}{a^2}|$

$E = \frac{k}{a^2}|q_2 - q_1|$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – коэффициент в законе Кулона.

Ответ: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 a^2}|q_2 - q_1|$.