Номер 612, страница 132 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

612. Два одинаковых точечных заряда $q$ каждый находятся в вакууме на расстоянии $r$ друг от друга. Определите модуль напряженности электростатического поля в точке, удаленной на расстояние $r$ от каждого из зарядов.

Дано:

Величина зарядов: $q_1 = q_2 = q$

Расстояние между зарядами: $r_{12} = r$

Расстояние от каждого заряда до точки наблюдения P: $r_{1P} = r_{2P} = r$

Среда: вакуум (диэлектрическая проницаемость $\epsilon = 1$)

Найти:

$E$ — модуль напряженности электростатического поля в точке P.

Решение:

По условию задачи, два одинаковых точечных заряда $q$ и точка P, в которой ищется напряженность поля, образуют равносторонний треугольник, так как все расстояния между ними равны $r$. Следовательно, все внутренние углы этого треугольника равны $60^\circ$.

Согласно принципу суперпозиции электростатических полей, результирующая напряженность $\vec{E}$ в точке P является векторной суммой напряженностей $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$

Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом в вакууме, определяется по формуле:

$E_i = k \frac{|q_i|}{d^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона, а $d$ — расстояние от заряда до точки.

Так как заряды одинаковы ($q_1 = q_2 = q$) и расстояния от них до точки P также одинаковы и равны $r$, модули векторов напряженности $E_1$ и $E_2$ будут равны:

$E_1 = E_2 = k \frac{|q|}{r^2}$

Вектор $\vec{E}_1$ направлен по прямой, соединяющей заряд $q_1$ и точку P. Аналогично, вектор $\vec{E}_2$ направлен по прямой, соединяющей заряд $q_2$ и точку P. Угол $\alpha$ между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ равен углу при вершине P в равностороннем треугольнике, то есть $\alpha = 60^\circ$.

Модуль результирующего вектора напряженности $E$ найдем по теореме косинусов для сложения векторов:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos\alpha}$

Подставим $E_2 = E_1$ и $\alpha = 60^\circ$ в эту формулу:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_1^2 + 2 E_1 \cdot E_1 \cdot \cos(60^\circ)} = \sqrt{2E_1^2 + 2E_1^2 \cos(60^\circ)}$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$E = \sqrt{2E_1^2 + 2E_1^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2E_1^2 + E_1^2} = \sqrt{3E_1^2} = E_1\sqrt{3}$

Теперь подставим выражение для $E_1$:

$E = \sqrt{3} \cdot k \frac{|q|}{r^2}$

Ответ: $E = \sqrt{3} k \frac{|q|}{r^2} = \frac{\sqrt{3} |q|}{4\pi\epsilon_0 r^2}$