Номер 818, страница 179 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

818. К источнику тока подключен реостат, напряжение на котором равно $U$. Определите ЭДС источника тока, если при увеличении сопротивления реостата в $n = 3$ раза напряжение на нем увеличивается в $k = 2$ раза.

Дано:

Начальное напряжение на реостате: $U_1 = U$

Коэффициент увеличения сопротивления: $n = 3$

Коэффициент увеличения напряжения: $k = 2$

Найти:

ЭДС источника тока: $\mathcal{E}$

Решение:

Запишем закон Ома для полной цепи для двух состояний.

В первом состоянии, пусть сопротивление реостата равно $R_1$, а внутреннее сопротивление источника – $r$. Ток в цепи $I_1$, а напряжение на реостате $U_1 = U$.

Ток в цепи, согласно закону Ома для полной цепи:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$

Напряжение на реостате, согласно закону Ома для участка цепи:

$U_1 = I_1 \cdot R_1$

Подставим выражение для тока в формулу для напряжения, учитывая, что $U_1 = U$:

$U = \frac{\mathcal{E} \cdot R_1}{R_1 + r}$ (1)

Во втором состоянии сопротивление реостата увеличилось в $n$ раз, то есть стало $R_2 = n \cdot R_1$. Напряжение на нем увеличилось в $k$ раз и стало $U_2 = k \cdot U$. Ток в цепи стал $I_2$.

Аналогично первому случаю, запишем уравнения:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + r} = \frac{\mathcal{E}}{n R_1 + r}$

$U_2 = I_2 \cdot R_2$

Подставим известные значения:

$k U = \frac{\mathcal{E} \cdot (n R_1)}{n R_1 + r}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными: $\mathcal{E}$, $R_1$ и $r$. Наша задача – выразить $\mathcal{E}$ через известные величины $U$, $n$ и $k$. Для этого необходимо исключить неизвестные $R_1$ и $r$.

Из уравнения (1) выразим $r$:

$U(R_1 + r) = \mathcal{E} R_1$

$U R_1 + U r = \mathcal{E} R_1$

$U r = (\mathcal{E} - U)R_1$

$r = \frac{(\mathcal{E} - U)R_1}{U}$ (3)

Теперь выразим $r$ из уравнения (2):

$k U (n R_1 + r) = \mathcal{E} n R_1$

$k U n R_1 + k U r = \mathcal{E} n R_1$

$k U r = (\mathcal{E} n - k U n)R_1$

$k U r = n(\mathcal{E} - k U)R_1$

$r = \frac{n(\mathcal{E} - k U)R_1}{k U}$ (4)

Приравняем правые части уравнений (3) и (4):

$\frac{(\mathcal{E} - U)R_1}{U} = \frac{n(\mathcal{E} - k U)R_1}{k U}$

Сократим обе части на $\frac{R_1}{U}$ (поскольку $R_1 \neq 0$ и $U \neq 0$):

$\mathcal{E} - U = \frac{n(\mathcal{E} - k U)}{k}$

Умножим обе части на $k$:

$k(\mathcal{E} - U) = n(\mathcal{E} - k U)$

Раскроем скобки:

$k\mathcal{E} - kU = n\mathcal{E} - nkU$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\mathcal{E}$, в одной части, а остальные — в другой:

$nkU - kU = n\mathcal{E} - k\mathcal{E}$

Вынесем общие множители за скобки:

$kU(n-1) = \mathcal{E}(n-k)$

Отсюда находим ЭДС источника:

$\mathcal{E} = \frac{kU(n-1)}{n-k}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $n=3$ и $k=2$.

$\mathcal{E} = \frac{2 \cdot U(3 - 1)}{3 - 2} = \frac{2 \cdot U \cdot 2}{1} = 4U$

Ответ: ЭДС источника тока равна $\mathcal{E} = 4U$.