Номер 949, страница 207 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

949. К источнику тока поочередно подключали резисторы сопротивлениями $R_1 = 3,0$ Ом и $R_2 = 10,5$ Ом. При этом коэффициент полезного действия источника отличался в $n = 2,0$ раза. Определите внутреннее сопротивление источника тока.

Дано:

$R_1 = 3,0$ Ом

$R_2 = 10,5$ Ом

$n = 2,0$

Найти:

$r$ — ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока $\eta$ определяется как отношение полезной мощности $P_{полезн}$, выделяемой на внешнем сопротивлении $R$, к полной мощности $P_{полн}$, выделяемой во всей цепи (внешнее сопротивление $R$ и внутреннее сопротивление $r$).

Формула для КПД источника тока:

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{полн}} = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

где $I$ — сила тока в цепи.

Запишем выражения для КПД в двух случаях, когда к источнику подключали резисторы с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$:

В первом случае: $\eta_1 = \frac{R_1}{R_1 + r}$

Во втором случае: $\eta_2 = \frac{R_2}{R_2 + r}$

Функция $\eta(R) = \frac{R}{R+r}$ является возрастающей по $R$ (при $R>0$ и $r>0$). Поскольку $R_2 > R_1$ ($10,5$ Ом > $3,0$ Ом), то и КПД во втором случае будет больше, чем в первом: $\eta_2 > \eta_1$.

По условию задачи, КПД в этих двух случаях отличается в $n = 2,0$ раза. Следовательно, мы можем записать соотношение:

$\eta_2 = n \cdot \eta_1$

Подставим выражения для $\eta_1$ и $\eta_2$ в это соотношение:

$\frac{R_2}{R_2 + r} = n \cdot \frac{R_1}{R_1 + r}$

Теперь решим это уравнение относительно внутреннего сопротивления $r$. Для этого преобразуем его:

$R_2 (R_1 + r) = n R_1 (R_2 + r)$

Раскроем скобки:

$R_1 R_2 + R_2 r = n R_1 R_2 + n R_1 r$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $r$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$R_2 r - n R_1 r = n R_1 R_2 - R_1 R_2$

Вынесем $r$ за скобки в левой части и $R_1 R_2$ в правой:

$r (R_2 - n R_1) = R_1 R_2 (n - 1)$

Выразим $r$:

$r = \frac{R_1 R_2 (n - 1)}{R_2 - n R_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$r = \frac{3,0 \text{ Ом} \cdot 10,5 \text{ Ом} \cdot (2,0 - 1)}{10,5 \text{ Ом} - 2,0 \cdot 3,0 \text{ Ом}} = \frac{3,0 \cdot 10,5 \cdot 1}{10,5 - 6,0} \text{ Ом} = \frac{31,5}{4,5} \text{ Ом}$

$r = 7,0$ Ом

Ответ: внутреннее сопротивление источника тока равно $7,0$ Ом.