Номер 950, страница 207 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

950. К источнику тока поочередно подключали резисторы сопротивлениями $R_1 = 3 \text{ Ом}$ и $R_2 = 12 \text{ Ом}$. При этом на резисторах выделялась одинаковая мощность. Определите, во сколько раз в этих случаях отличались коэффициенты полезного действия источника.

Дано:

$R_1 = 3$ Ом

$R_2 = 12$ Ом

$P_1 = P_2$

Найти:

$\frac{\eta_{max}}{\eta_{min}}$ — отношение коэффициентов полезного действия (КПД).

Решение:

Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $R$, подключенном к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, определяется по формуле:

$P = I^2 R$

Сила тока $I$ в цепи по закону Ома для полной цепи равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Подставим выражение для силы тока в формулу мощности:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R$

По условию задачи, мощность, выделяемая на резисторах $R_1$ и $R_2$, одинакова ($P_1=P_2$):

$\left(\frac{\mathcal{E}}{R_1+r}\right)^2 R_1 = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_2+r}\right)^2 R_2$

Сократим $\mathcal{E}^2$ и извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\frac{\sqrt{R_1}}{R_1+r} = \frac{\sqrt{R_2}}{R_2+r}$

$\sqrt{R_1}(R_2+r) = \sqrt{R_2}(R_1+r)$

$R_2\sqrt{R_1} + r\sqrt{R_1} = R_1\sqrt{R_2} + r\sqrt{R_2}$

$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = R_1\sqrt{R_2} - R_2\sqrt{R_1}$

$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = \sqrt{R_1 R_2}(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2})$

Поскольку $R_1 \neq R_2$, мы можем сократить $(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2})$, получив выражение для внутреннего сопротивления источника:

$r = \sqrt{R_1 R_2}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$ Ом

Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока определяется как отношение полезной мощности (на внешней нагрузке) к полной мощности, развиваемой источником:

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{полная}} = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Найдем КПД для каждого случая:

$\eta_1 = \frac{R_1}{R_1+r} = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\eta_2 = \frac{R_2}{R_2+r} = \frac{12}{12+6} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем, во сколько раз отличались коэффициенты полезного действия. Для этого разделим больший КПД на меньший:

$\frac{\eta_2}{\eta_1} = \frac{2/3}{1/3} = 2$

Ответ: коэффициенты полезного действия источника отличались в 2 раза.