Номер 957, страница 208 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

957. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 204, ЭДС источника тока $\mathcal{E}=10$ В и внутреннее сопротивление $r=1,0$ Ом, сопротивления резисторов

Рис. 204

$R_1=5,0$ Ом, $R_2=4,0$ Ом, электроемкость конденсатора $C=10$ нФ. Определите количество теплоты, выделившееся в цепи после размыкания ключа $K$.

Дано:

$\mathscr{E} = 10 \text{ В}$

$r = 1,0 \text{ Ом}$

$R_1 = 5,0 \text{ Ом}$

$R_2 = 4,0 \text{ Ом}$

$C = 10 \text{ нФ} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 10^{-8} \text{ Ф}$

Найти:

$Q$

Решение:

Количество теплоты, выделившееся в цепи после размыкания ключа, можно найти, используя закон сохранения энергии. Теплота выделяется в процессе перехода системы из начального стационарного состояния (ключ замкнут) в конечное стационарное состояние (ключ разомкнут).

Закон сохранения энергии для этого процесса имеет вид:

$A_{ист} + W_{C1} = W_{C2} + Q$

где $A_{ист}$ – работа источника тока, $W_{C1}$ – начальная энергия конденсатора, $W_{C2}$ – конечная энергия конденсатора, $Q$ – выделившееся количество теплоты.

Отсюда количество теплоты:

$Q = A_{ист} + W_{C1} - W_{C2}$

Найдем величины, входящие в это уравнение.

1. Начальное состояние (ключ K замкнут).

В установившемся режиме постоянный ток через конденсатор не течет. Ток от источника протекает по замкнутой цепи, состоящей из последовательно соединенных резисторов $R_1$, $R_2$ и внутреннего сопротивления источника $r$.

По закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи равна:

$I_1 = \frac{\mathscr{E}}{R_1 + R_2 + r} = \frac{10 \text{ В}}{5,0 \text{ Ом} + 4,0 \text{ Ом} + 1,0 \text{ Ом}} = \frac{10 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = 1,0 \text{ А}$

Конденсатор C подключен параллельно участку цепи, содержащему резистор $R_2$ и ключ K. Напряжение на конденсаторе $U_{C1}$ равно напряжению на этом участке. Поскольку ключ замкнут, его сопротивление равно нулю, и напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе $R_2$.

$U_{C1} = U_{R2} = I_1 \cdot R_2 = 1,0 \text{ А} \cdot 4,0 \text{ Ом} = 4,0 \text{ В}$

Начальная энергия, запасенная в конденсаторе:

$W_{C1} = \frac{C U_{C1}^2}{2} = \frac{10^{-8} \text{ Ф} \cdot (4,0 \text{ В})^2}{2} = \frac{10^{-8} \cdot 16}{2} = 8 \cdot 10^{-8} \text{ Дж}$

2. Конечное состояние (ключ K разомкнут).

После размыкания ключа K цепь для постоянного тока разрывается. В новом установившемся режиме ток в цепи равен нулю ($I_2 = 0$).

Конденсатор оказывается подключенным к зажимам источника через резистор $R_1$. Так как ток в цепи не течет, падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника $r$ и на резисторе $R_1$ равно нулю.

Поэтому напряжение на конденсаторе в конечном состоянии равно ЭДС источника:

$U_{C2} = \mathscr{E} = 10 \text{ В}$

Конечная энергия конденсатора:

$W_{C2} = \frac{C U_{C2}^2}{2} = \frac{10^{-8} \text{ Ф} \cdot (10 \text{ В})^2}{2} = \frac{10^{-8} \cdot 100}{2} = 50 \cdot 10^{-8} \text{ Дж}$

3. Работа источника и количество теплоты.

Работа источника тока равна произведению ЭДС на заряд, прошедший через источник в процессе перезарядки конденсатора.

Изменение заряда на конденсаторе:

$\Delta q = q_2 - q_1 = C U_{C2} - C U_{C1} = C(U_{C2} - U_{C1})$

$\Delta q = 10^{-8} \text{ Ф} \cdot (10 \text{ В} - 4,0 \text{ В}) = 10^{-8} \cdot 6 = 6 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Этот заряд прошел через источник, поэтому работа источника:

$A_{ист} = \mathscr{E} \cdot \Delta q = 10 \text{ В} \cdot 6 \cdot 10^{-8} \text{ Кл} = 60 \cdot 10^{-8} \text{ Дж}$

Теперь можем найти количество выделившейся теплоты:

$Q = A_{ист} + W_{C1} - W_{C2} = 60 \cdot 10^{-8} \text{ Дж} + 8 \cdot 10^{-8} \text{ Дж} - 50 \cdot 10^{-8} \text{ Дж} = 18 \cdot 10^{-8} \text{ Дж}$

$Q = 1,8 \cdot 10^{-7} \text{ Дж} = 0,18 \text{ мкДж}$

Ответ: $Q = 1,8 \cdot 10^{-7} \text{ Дж}$.