Номер 960, страница 209 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

960. На рисунке 207 представлена схема электрической цепи, в которую включены два источника тока с ЭДС $\mathcal{E}_1 = 10$ В и $\mathcal{E}_2 = 15$ В и одинаковыми внутренними сопротивлениями $r = 2,0$ Ом. Электроемкость конденсатора $C = 192$ нФ. Сопротивление резистора $R = 10$ Ом. Определите, какое количество теплоты выделится в резисторе, если ключ $K$ из положения 1 перевести в положение 2.

Рис. 207

Дано:

$\mathscr{E}_1 = 10$ В

$\mathscr{E}_2 = 15$ В

$r = 2,0$ Ом

$C = 192$ нФ = $192 \cdot 10^{-9}$ Ф

$R = 10$ Ом

Найти:

$Q_R$

Решение:

1. В начальном состоянии, когда ключ K находится в положении 1, конденсатор $C$ заряжен от источника с ЭДС $\mathscr{E}_1$. После завершения процесса зарядки ток в цепи прекращается, и напряжение на конденсаторе становится равным ЭДС источника:

$U_1 = \mathscr{E}_1$

Энергия, запасенная в конденсаторе в начальном состоянии:

$W_1 = \frac{C U_1^2}{2} = \frac{C \mathscr{E}_1^2}{2}$

2. Когда ключ K переводят в положение 2, конденсатор подключается к источнику с ЭДС $\mathscr{E}_2$. Начинается процесс перезарядки. В конечном состоянии, когда ток в цепи снова станет равным нулю, напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС второго источника:

$U_2 = \mathscr{E}_2$

Энергия, запасенная в конденсаторе в конечном состоянии:

$W_2 = \frac{C U_2^2}{2} = \frac{C \mathscr{E}_2^2}{2}$

3. В процессе перезарядки изменяется энергия конденсатора, а источник $\mathscr{E}_2$ совершает работу. Разница между работой источника и изменением энергии конденсатора выделяется в виде теплоты на резисторе $R$ и внутреннем сопротивлении $r$. Запишем закон сохранения энергии:

$A_2 = \Delta W + Q_{total} = (W_2 - W_1) + Q_{total}$

где $A_2$ — работа второго источника, а $Q_{total}$ — общее количество выделившейся теплоты.

4. Чтобы найти работу источника $A_2 = \mathscr{E}_2 \cdot \Delta q$, нужно определить заряд $\Delta q$, который прошел через источник. Начальный заряд конденсатора был $q_1 = C \mathscr{E}_1$. Конечный заряд, судя по схеме подключения, имеет противоположную полярность, $q_2 = C \mathscr{E}_2$. Таким образом, для перезарядки через источник должен пройти заряд, равный сумме начального и конечного зарядов:

$\Delta q = q_1 + q_2 = C\mathscr{E}_1 + C\mathscr{E}_2 = C(\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2)$

Работа второго источника:

$A_2 = \mathscr{E}_2 \cdot C(\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2)$

5. Теперь найдем общее количество выделившейся теплоты:

$Q_{total} = A_2 - (W_2 - W_1) = A_2 - W_2 + W_1$

$Q_{total} = C \mathscr{E}_2 (\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2) - \frac{C \mathscr{E}_2^2}{2} + \frac{C \mathscr{E}_1^2}{2}$

$Q_{total} = C \left( \mathscr{E}_1 \mathscr{E}_2 + \mathscr{E}_2^2 - \frac{\mathscr{E}_2^2}{2} + \frac{\mathscr{E}_1^2}{2} \right) = C \left( \frac{\mathscr{E}_1^2}{2} + \mathscr{E}_1 \mathscr{E}_2 + \frac{\mathscr{E}_2^2}{2} \right)$

$Q_{total} = \frac{C}{2} (\mathscr{E}_1^2 + 2\mathscr{E}_1 \mathscr{E}_2 + \mathscr{E}_2^2) = \frac{C(\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2)^2}{2}$

6. В процессе перезарядки резистор $R$ и внутреннее сопротивление $r$ соединены последовательно. Количество теплоты, выделяющееся на каждом из них, пропорционально их сопротивлению, так как ток в любой момент времени через них одинаков. Поэтому искомое количество теплоты $Q_R$ можно найти из пропорции:

$\frac{Q_R}{Q_{total}} = \frac{R}{R+r} \implies Q_R = Q_{total} \cdot \frac{R}{R+r}$

Подставим выражение для $Q_{total}$:

$Q_R = \frac{C(\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2)^2}{2} \cdot \frac{R}{R+r}$

7. Выполним численный расчет:

$Q_R = \frac{192 \cdot 10^{-9} \cdot (10 + 15)^2}{2} \cdot \frac{10}{10+2} = \frac{192 \cdot 10^{-9} \cdot 25^2}{2} \cdot \frac{10}{12}$

$Q_R = \frac{192 \cdot 10^{-9} \cdot 625}{2} \cdot \frac{10}{12} = 96 \cdot 10^{-9} \cdot 625 \cdot \frac{10}{12}$

$Q_R = 8 \cdot 10^{-9} \cdot 625 \cdot 10 = 50000 \cdot 10^{-9} \text{ Дж} = 5 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Переведем в микро-джоули: $5 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} = 50 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 50$ мкДж.

Ответ: $Q_R = 50$ мкДж.