Номер 959, страница 209 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

959. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 206, емкость конденсатора $C_1 = 100$ мкФ, $C_2 = 300$ мкФ, ЭДС источника тока $\mathcal{E} = 60,0$ В. Сопротивление резистора $R_2$ в два раза больше сопротивления резистора $R_1$. В начальный момент времени ключ $K$ замкнут, и через резисторы протекает постоянный электрический ток. Определите количество теплоты, выделившееся во втором резисторе после размыкания ключа $K$. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.

Рис. 206

Дано:

$C_1 = 100 \text{ мкФ} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-4} \text{ Ф}$

$C_2 = 300 \text{ мкФ} = 300 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 3 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}$

$\mathscr{E} = 60,0 \text{ В}$

$R_2 = 2R_1$

Найти:

$Q_2$

Решение:

1. Рассмотрим начальное состояние, когда ключ K замкнут. В условии сказано, что через резисторы протекает постоянный ток. В цепи с конденсаторами постоянный ток может протекать только в течение переходного процесса зарядки или разрядки. Когда процесс завершается и наступает стационарное состояние (установившийся режим), ток через конденсаторы прекращается. В данной схеме при прекращении тока через конденсаторы разрываются все цепи, и ток не может течь ни через один из резисторов. Следовательно, утверждение о протекании постоянного тока следует интерпретировать как достижение стационарного состояния, при котором все переходные процессы завершились. В этом состоянии ток в цепи равен нулю, а конденсаторы полностью заряжены.

Когда ключ K замкнут, точки C и D (узлы между элементами) соединены и имеют одинаковый потенциал. Поскольку ток в цепи не течет, падения напряжения на резисторах $R_1$ и $R_2$ отсутствуют. Это означает, что для постоянного тока схема эквивалентна двум последовательно соединенным конденсаторам $C_1$ и $C_2$, подключенным к источнику ЭДС. Найдем напряжения на конденсаторах в этом начальном состоянии.

При последовательном соединении конденсаторов общее напряжение $\mathscr{E}$ распределяется обратно пропорционально их емкостям:

$q_1 = q_2 \implies C_1 U_{C1,i} = C_2 U_{C2,i}$

$U_{C1,i} + U_{C2,i} = \mathscr{E}$

Из этих уравнений находим начальное напряжение на первом конденсаторе $U_{C1,i}$:

$U_{C1,i} = \mathscr{E} \frac{C_2}{C_1 + C_2}$

2. Теперь рассмотрим процесс после размыкания ключа K. Цепь распадается на две независимые параллельные ветви:

• Ветвь 1: источник $\mathscr{E}$, конденсатор $C_1$ и резистор $R_2$.
• Ветвь 2: источник $\mathscr{E}$, резистор $R_1$ и конденсатор $C_2$.

В каждой ветви начнется процесс перезарядки конденсаторов до нового стационарного состояния. В конечном состоянии ток в обеих ветвях снова станет равен нулю, и каждый конденсатор будет заряжен до напряжения, равного ЭДС источника, так как падение напряжения на резисторах будет равно нулю.

Нас интересует количество теплоты $Q_2$, выделившееся на резисторе $R_2$. Этот процесс происходит в первой ветви. Начальное напряжение на конденсаторе $C_1$ равно $U_{C1,i}$, а конечное напряжение $U_{C1,f} = \mathscr{E}$.

3. Для нахождения выделившейся теплоты $Q_2$ применим закон сохранения энергии для ветви с $C_1$ и $R_2$. Работа источника тока $A_{ист}$ идет на изменение энергии конденсатора $\Delta W_{C1}$ и на выделение теплоты $Q_2$ на резисторе:

$A_{ист} = \Delta W_{C1} + Q_2$

Работа источника равна произведению ЭДС на заряд $\Delta q_1$, прошедший через источник в этой ветви:

$A_{ист} = \mathscr{E} \cdot \Delta q_1 = \mathscr{E} (q_{1,f} - q_{1,i}) = \mathscr{E} (C_1 U_{C1,f} - C_1 U_{C1,i}) = \mathscr{E} C_1 (\mathscr{E} - U_{C1,i})$

Изменение энергии, запасенной в конденсаторе $C_1$:

$\Delta W_{C1} = W_{1,f} - W_{1,i} = \frac{C_1 U_{C1,f}^2}{2} - \frac{C_1 U_{C1,i}^2}{2} = \frac{1}{2} C_1 (\mathscr{E}^2 - U_{C1,i}^2)$

Тогда количество теплоты равно:

$Q_2 = A_{ист} - \Delta W_{C1} = \mathscr{E} C_1 (\mathscr{E} - U_{C1,i}) - \frac{1}{2} C_1 (\mathscr{E}^2 - U_{C1,i}^2) = C_1 \left( \mathscr{E}^2 - \mathscr{E}U_{C1,i} - \frac{1}{2}\mathscr{E}^2 + \frac{1}{2}U_{C1,i}^2 \right) = \frac{1}{2} C_1 (\mathscr{E}^2 - 2\mathscr{E}U_{C1,i} + U_{C1,i}^2) = \frac{1}{2} C_1 (\mathscr{E} - U_{C1,i})^2$

4. Подставим выражение для $U_{C1,i}$ в формулу для $Q_2$:

$Q_2 = \frac{1}{2} C_1 \left( \mathscr{E} - \mathscr{E}\frac{C_2}{C_1+C_2} \right)^2 = \frac{1}{2} C_1 \left( \mathscr{E}\frac{C_1+C_2-C_2}{C_1+C_2} \right)^2 = \frac{1}{2} C_1 \left( \frac{\mathscr{E} C_1}{C_1+C_2} \right)^2 = \frac{C_1^3 \mathscr{E}^2}{2(C_1+C_2)^2}$

Как видно из формулы, количество выделившейся теплоты не зависит от сопротивления резистора $R_2$, поэтому данное $R_2=2R_1$ является избыточным.

5. Произведем вычисления:

$Q_2 = \frac{(10^{-4} \text{ Ф})^3 \cdot (60,0 \text{ В})^2}{2(10^{-4} \text{ Ф} + 3 \cdot 10^{-4} \text{ Ф})^2} = \frac{10^{-12} \cdot 3600}{2(4 \cdot 10^{-4})^2} = \frac{3600 \cdot 10^{-12}}{2 \cdot 16 \cdot 10^{-8}} = \frac{3600 \cdot 10^{-12}}{32 \cdot 10^{-8}} = 112,5 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} = 0,01125 \text{ Дж}$

Переведем в миллиджоули:

$Q_2 = 11,25 \text{ мДж}$

Ответ: $Q_2 = 11,25 \text{ мДж}$.