Номер 958, страница 209 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

958. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 205, ЭДС источника тока $\mathcal{E}=20$ В, сопротивления резисторов $R_1 = 30$ Ом, $R_2 = 50$ Ом, $R_3 = 20$ Ом, электроемкость конденсатора $C = 10$ нФ. Определите количество теплоты, выделившееся в первом резисторе после размыкания ключа $K$. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.

Рис. 205

Дано:

$E=20 \text{ В}$

$R_1=30 \text{ Ом}$

$R_2=50 \text{ Ом}$

$R_3=20 \text{ Ом}$

$C=10 \text{ нФ}$

Внутреннее сопротивление источника $r=0$

$C = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 10^{-8} \text{ Ф}$

Найти:

$Q_1$ - количество теплоты, выделившееся в первом резисторе.

Решение:

Процесс можно разделить на три этапа: начальное установившееся состояние с замкнутым ключом, переходный процесс после размыкания ключа и конечное установившееся состояние.

1. Начальное состояние (ключ K замкнут).

Когда ключ K замкнут длительное время, в цепи устанавливается постоянный ток. Конденсатор полностью заряжен и ток через него не течет. Таким образом, ток от источника проходит последовательно через резисторы $R_1$, $R_2$ и $R_3$.

Общее сопротивление цепи:

$R_{общ1} = R_1 + R_2 + R_3 = 30 + 50 + 20 = 100 \text{ Ом}$

Сила тока в цепи по закону Ома для полной цепи (с $r=0$):

$I_1 = \frac{E}{R_{общ1}} = \frac{20 \text{ В}}{100 \text{ Ом}} = 0.2 \text{ А}$

Конденсатор C подключен параллельно участку цепи с резисторами $R_2$ и $R_3$. Следовательно, напряжение на конденсаторе равно напряжению на этом участке:

$U_{C1} = I_1 \cdot (R_2 + R_3) = 0.2 \text{ А} \cdot (50 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом}) = 0.2 \text{ А} \cdot 70 \text{ Ом} = 14 \text{ В}$

Энергия, запасенная в конденсаторе в начальном состоянии:

$W_{C1} = \frac{C U_{C1}^2}{2} = \frac{10^{-8} \text{ Ф} \cdot (14 \text{ В})^2}{2} = \frac{10^{-8} \cdot 196}{2} = 98 \cdot 10^{-8} \text{ Дж} = 0.98 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Заряд на конденсаторе в начальном состоянии:

$q_1 = C \cdot U_{C1} = 10^{-8} \text{ Ф} \cdot 14 \text{ В} = 14 \cdot 10^{-8} \text{ Кл} = 1.4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

2. Конечное состояние (ключ K разомкнут).

После размыкания ключа K цепь с резисторами $R_2$ и $R_3$ разрывается. Через некоторое время наступает новое установившееся состояние. В новой цепи, состоящей из источника, резистора $R_1$ и конденсатора $C$, постоянный ток течь не может. Конденсатор зарядится до напряжения, равного ЭДС источника, так как ток через $R_1$ будет равен нулю, и падение напряжения на нем также будет равно нулю.

Напряжение на конденсаторе в конечном состоянии:

$U_{C2} = E = 20 \text{ В}$

Энергия, запасенная в конденсаторе в конечном состоянии:

$W_{C2} = \frac{C U_{C2}^2}{2} = \frac{10^{-8} \text{ Ф} \cdot (20 \text{ В})^2}{2} = \frac{10^{-8} \cdot 400}{2} = 200 \cdot 10^{-8} \text{ Дж} = 2.0 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Заряд на конденсаторе в конечном состоянии:

$q_2 = C \cdot U_{C2} = 10^{-8} \text{ Ф} \cdot 20 \text{ В} = 20 \cdot 10^{-8} \text{ Кл} = 2.0 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

3. Переходный процесс и выделение теплоты.

После размыкания ключа K происходит перезарядка конденсатора. Этот процесс происходит в контуре, состоящем из источника, резистора $R_1$ и конденсатора $C$. Вся выделившаяся теплота будет выделяться на резисторе $R_1$.

Применим закон сохранения энергии. Работа источника тока ($A_{ист}$) идет на изменение энергии конденсатора ($\Delta W_C$) и на выделение теплоты ($Q_1$):

$A_{ист} = \Delta W_C + Q_1$

Отсюда, $Q_1 = A_{ист} - \Delta W_C$.

Изменение энергии конденсатора:

$\Delta W_C = W_{C2} - W_{C1} = 2.0 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} - 0.98 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 1.02 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Работа источника равна произведению ЭДС на заряд, прошедший через источник за время переходного процесса. Этот заряд равен изменению заряда конденсатора:

$\Delta q = q_2 - q_1 = 2.0 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} - 1.4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = 0.6 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

$A_{ист} = E \cdot \Delta q = 20 \text{ В} \cdot 0.6 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = 1.2 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Теперь найдем количество выделившейся теплоты:

$Q_1 = A_{ист} - \Delta W_C = 1.2 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} - 1.02 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 0.18 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Переведем в более удобные единицы: $0.18 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 0.18 \text{ мкДж} = 180 \text{ нДж}$.

Ответ: $Q_1 = 0.18 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$ (или $0.18 \text{ мкДж}$).