Номер 955, страница 208 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

955. Батарея аккумуляторов замкнута на резистор, параллельно которому подключен конденсатор емкостью $C = 10 \, \mu \text{Ф}$. Определите ЭДС батареи, если заряд конденсатора $q = 0,40 \, \text{мКл}$, а в резисторе выделяется мощность $P = 40 \, \text{Вт}$. Сила тока короткого замыкания для батареи $I_{\text{к.з.}} = 5,0 \, \text{А}$.

Дано:

$C = 10$ мкФ

$q = 0,40$ мКл

$P = 40$ Вт

$I_{к.з.} = 5,0$ А

$C = 10 \cdot 10^{-6}$ Ф

$q = 0,40 \cdot 10^{-3}$ Кл

Найти:

$\mathcal{E}$

Решение:

В установившемся режиме постоянный ток через конденсатор не протекает. Он заряжен до напряжения $U$, которое равно напряжению на резисторе $R$, так как они соединены параллельно. Это напряжение $U$ также является напряжением на внешней части цепи.

Напряжение на конденсаторе можно найти, зная его заряд и емкость:

$U = \frac{q}{C}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$U = \frac{0,40 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}}{10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 0,04 \cdot 10^3 \text{ В} = 40 \text{ В}$

Мощность $P$, выделяемая на резисторе, связана с напряжением на нем и силой тока $I$, протекающего через него (и через всю внешнюю цепь):

$P = U \cdot I$

Из этой формулы выразим и найдем силу тока в цепи:

$I = \frac{P}{U} = \frac{40 \text{ Вт}}{40 \text{ В}} = 1,0 \text{ А}$

Закон Ома для полной цепи связывает ЭДС батареи ($\mathcal{E}$), силу тока в цепи ($I$), напряжение на внешней цепи ($U$) и внутреннее сопротивление батареи ($r$):

$\mathcal{E} = U + I \cdot r$

Сила тока короткого замыкания ($I_{к.з.}$) возникает, когда внешнее сопротивление равно нулю. Она определяется только ЭДС и внутренним сопротивлением:

$I_{к.з.} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Из этого соотношения выразим внутреннее сопротивление:

$r = \frac{\mathcal{E}}{I_{к.з.}}$

Теперь подставим это выражение для $r$ в закон Ома для полной цепи:

$\mathcal{E} = U + I \cdot \frac{\mathcal{E}}{I_{к.з.}}$

Мы получили уравнение с одной неизвестной – $\mathcal{E}$. Решим его:

$\mathcal{E} - I \cdot \frac{\mathcal{E}}{I_{к.з.}} = U$

Вынесем $\mathcal{E}$ за скобки:

$\mathcal{E} \left( 1 - \frac{I}{I_{к.з.}} \right) = U$

Отсюда находим ЭДС:

$\mathcal{E} = \frac{U}{1 - \frac{I}{I_{к.з.}}}$

Подставим известные числовые значения:

$\mathcal{E} = \frac{40 \text{ В}}{1 - \frac{1,0 \text{ А}}{5,0 \text{ А}}} = \frac{40}{1 - 0,2} = \frac{40}{0,8} = 50 \text{ В}$

Ответ: $\mathcal{E} = 50$ В.