Номер 230, страница 72 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

230. К источнику переменного напряжения подключены два резистора сопротивлениями $R_1 = 12 \text{ Ом}$ и $R_2 = 36 \text{ Ом}$, соединенные последовательно. На рисунке 59 представлены графики зависимости напряжения на резисторах от времени. Определите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся на каждом резисторе.

Рис. 59

Дано:

$R_1 = 12 \, \text{Ом}$

$R_2 = 36 \, \text{Ом}$

Соединение последовательное.

Графики зависимости $U(t)$ для каждого резистора.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$P_1$ — средняя тепловая мощность на резисторе $R_1$.

$P_2$ — средняя тепловая мощность на резисторе $R_2$.

Решение:

Поскольку резисторы соединены последовательно, через них протекает один и тот же переменный ток $i(t)$. Согласно закону Ома, мгновенное напряжение на резисторе равно $u(t) = i(t) \cdot R$. Следовательно, напряжение на каждом резисторе пропорционально его сопротивлению. Так как $R_2 > R_1$, амплитуда напряжения на втором резисторе $U_{m2}$ будет больше амплитуды напряжения на первом $U_{m1}$.

Из анализа графика следует, что кривая 1 с меньшей амплитудой соответствует напряжению на резисторе $R_1$, а кривая 2 с большей амплитудой — напряжению на резисторе $R_2$.

Определим амплитудные значения напряжений по графику:

Для кривой 1 (резистор $R_1$): $U_{m1} = 20 \, \text{В}$.

Для кривой 2 (резистор $R_2$): $U_{m2} = 60 \, \text{В}$.

Соотношение амплитуд напряжений $\frac{U_{m2}}{U_{m1}} = \frac{60}{20} = 3$. Соотношение сопротивлений $\frac{R_2}{R_1} = \frac{36}{12} = 3$. Соотношения равны, что подтверждает правильность идентификации графиков.

Средняя тепловая мощность $P$, выделяющаяся на резисторе в цепи переменного тока, определяется через действующее значение напряжения $U_{eff}$ и сопротивление $R$ по формуле:

$P = \frac{U_{eff}^2}{R}$

Действующее значение синусоидального напряжения связано с его амплитудным значением $U_m$ как $U_{eff} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$.

Подставив это в формулу для мощности, получим:

$P = \frac{(U_m/\sqrt{2})^2}{R} = \frac{U_m^2}{2R}$

Теперь рассчитаем среднюю мощность для каждого резистора.

Для первого резистора $R_1$:

$P_1 = \frac{U_{m1}^2}{2R_1} = \frac{(20 \, \text{В})^2}{2 \cdot 12 \, \text{Ом}} = \frac{400}{24} \, \text{Вт} = \frac{50}{3} \, \text{Вт} \approx 16,7 \, \text{Вт}$

Для второго резистора $R_2$:

$P_2 = \frac{U_{m2}^2}{2R_2} = \frac{(60 \, \text{В})^2}{2 \cdot 36 \, \text{Ом}} = \frac{3600}{72} \, \text{Вт} = 50 \, \text{Вт}$

Ответ: средняя тепловая мощность на первом резисторе $P_1 \approx 16,7 \, \text{Вт}$, на втором резисторе $P_2 = 50 \, \text{Вт}$.