Номер 236, страница 74 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

236. *Неоновая лампа включена в осветительную сеть, в которой частота колебаний переменного тока $v = 50$ Гц. Определите время, в течение которого горит неоновая лампа за каждый период, если:

а) лампа зажигается и гаснет при напряжении на ее электродах в два раза меньше амплитудного значения напряжения в сети;

б) лампа зажигается и гаснет при напряжении, равном действующему значению напряжения переменного тока.

Дано:

Частота переменного тока $v = 50$ Гц.

Данные приведены в системе СИ.

Найти:

$\Delta t$ — время, в течение которого горит неоновая лампа за каждый период.

Решение:

Напряжение в осветительной сети изменяется по гармоническому (синусоидальному) закону: $U(t) = U_{max} \sin(\omega t)$, где $U_{max}$ — амплитудное значение напряжения, $\omega$ — циклическая частота, а $t$ — время.

Циклическая частота связана с частотой колебаний $v$ соотношением $\omega = 2\pi v$.

Период колебаний $T$ — это время одного полного колебания, он связан с частотой как $T = 1/v$.

Для $v = 50$ Гц период $T = 1/50 \text{ с} = 0,02 \text{ с}$.

Неоновая лампа зажигается, когда модуль мгновенного напряжения на ее электродах $|U(t)|$ достигает определенного значения $U_з$ (напряжение зажигания), и горит до тех пор, пока $|U(t)| \ge U_з$.

За один период $T$ напряжение дважды достигает положительных и отрицательных пиковых значений. Это означает, что лампа вспыхивает дважды за период — один раз во время положительной полуволны напряжения, и второй раз во время отрицательной. В силу симметрии синусоиды, продолжительность этих двух вспышек одинакова. Поэтому мы можем найти длительность одной вспышки (например, при $U > 0$) и умножить ее на два.

а)

Лампа зажигается и гаснет при напряжении $U_з$, равном половине амплитудного значения: $U_з = U_{max} / 2$.

Условие горения лампы: $|U(t)| \ge U_{max} / 2$, или $|U_{max} \sin(\omega t)| \ge U_{max} / 2$, что упрощается до $|\sin(\omega t)| \ge 1/2$.

Рассмотрим первую (положительную) половину периода, где $U(t) > 0$. Условие горения: $\sin(\omega t) \ge 1/2$.

Найдем моменты времени $t_1$ и $t_2$, когда $\sin(\omega t) = 1/2$.

Момент зажигания: $\omega t_1 = \arcsin(1/2) = \pi/6$. Отсюда $t_1 = \frac{\pi}{6\omega}$.

Момент гашения: $\omega t_2 = \pi - \arcsin(1/2) = \pi - \pi/6 = 5\pi/6$. Отсюда $t_2 = \frac{5\pi}{6\omega}$.

Длительность одной вспышки: $\Delta t' = t_2 - t_1 = \frac{5\pi}{6\omega} - \frac{\pi}{6\omega} = \frac{4\pi}{6\omega} = \frac{2\pi}{3\omega}$.

Общее время горения за весь период $\Delta t_a$ равно удвоенной длительности одной вспышки:

$\Delta t_a = 2 \cdot \Delta t' = 2 \cdot \frac{2\pi}{3\omega} = \frac{4\pi}{3\omega}$.

Подставим $\omega = 2\pi/T$:

$\Delta t_a = \frac{4\pi}{3(2\pi/T)} = \frac{4\pi T}{6\pi} = \frac{2}{3}T$.

Вычислим значение: $\Delta t_a = \frac{2}{3} \cdot 0,02 \text{ с} \approx 0,0133 \text{ с} = 13,3 \text{ мс}$.

Ответ: Время горения лампы за каждый период составляет $\frac{2}{3}T \approx 13,3 \text{ мс}$.

б)

Лампа зажигается и гаснет при напряжении, равном действующему значению переменного тока: $U_з = U_{действ}$.

Действующее значение напряжения для синусоидального тока связано с амплитудным как $U_{действ} = U_{max} / \sqrt{2}$.

Условие горения лампы: $|U(t)| \ge U_{max} / \sqrt{2}$, или $|\sin(\omega t)| \ge 1/\sqrt{2}$.

Рассмотрим положительную полуволну: $\sin(\omega t) \ge 1/\sqrt{2}$.

Найдем моменты времени $t_1$ и $t_2$, когда $\sin(\omega t) = 1/\sqrt{2}$.

Момент зажигания: $\omega t_1 = \arcsin(1/\sqrt{2}) = \pi/4$. Отсюда $t_1 = \frac{\pi}{4\omega}$.

Момент гашения: $\omega t_2 = \pi - \arcsin(1/\sqrt{2}) = \pi - \pi/4 = 3\pi/4$. Отсюда $t_2 = \frac{3\pi}{4\omega}$.

Длительность одной вспышки: $\Delta t' = t_2 - t_1 = \frac{3\pi}{4\omega} - \frac{\pi}{4\omega} = \frac{2\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{2\omega}$.

Общее время горения за весь период $\Delta t_b$ равно удвоенной длительности одной вспышки:

$\Delta t_b = 2 \cdot \Delta t' = 2 \cdot \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$.

Подставим $\omega = 2\pi/T$:

$\Delta t_b = \frac{\pi}{2\pi/T} = \frac{\pi T}{2\pi} = \frac{1}{2}T$.

Вычислим значение: $\Delta t_b = \frac{1}{2} \cdot 0,02 \text{ с} = 0,01 \text{ с} = 10 \text{ мс}$.

Ответ: Время горения лампы за каждый период составляет $\frac{1}{2}T = 10 \text{ мс}$.