Номер 238, страница 75 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

238. *

К источнику переменного напряжения подключили электрическую цепь (рис. 64), состоящую из двух идеальных диодов и пяти одинаковых резисторов сопротивлением $R = 40 \, \text{Ом}$ каждый. Определите количество теплоты, выделяющееся в цепи за время, равное десяти периодам колебаний силы тока, если напряжение на клеммах источника изменяется по закону: $U(t)=A\sin(Bt)$, где $A = 80 \, \text{В}$, $B = 100\pi \, \frac{\text{рад}}{\text{с}}$.

Рис. 64

Дано:

Сопротивление каждого резистора: $R = 40$ Ом

Закон изменения напряжения: $U(t) = A \sin(Bt)$

Амплитуда напряжения: $A = 80$ В

Циклическая частота: $B = 100\pi$ рад/с

Время: $t = 10T$, где $T$ - период колебаний.

Диоды идеальные.

Найти:

Количество теплоты, выделившееся в цепи: $Q$

Решение:

Электрическая цепь, показанная на рисунке, состоит из пяти одинаковых резисторов, образующих мостовую схему, и двух идеальных диодов, включенных на входе и выходе моста между верхней и нижней шинами. Поведение цепи зависит от полярности приложенного напряжения.

1. Анализ цепи в течение положительного полупериода ($U(t) > 0$).

Когда напряжение на верхней клемме положительно относительно нижней, оба диода смещены в обратном направлении. Катод левого диода находится под более высоким потенциалом, чем его анод, а у правого диода катод также находится под более высоким потенциалом, чем анод. Идеальные диоды в обратном смещении имеют бесконечное сопротивление, то есть представляют собой разрыв цепи. Таким образом, в течение положительного полупериода диоды не влияют на работу цепи.

Цепь представляет собой мост из пяти одинаковых резисторов $R$. Так как все резисторы одинаковы, мост является сбалансированным ($R/R = R/R$). В сбалансированном мосте ток через средний (вертикальный) резистор не течет. Следовательно, его можно мысленно удалить из схемы для расчета эквивалентного сопротивления.

Оставшаяся схема состоит из двух параллельных ветвей: верхняя с сопротивлением $R+R=2R$ и нижняя с сопротивлением $R+R=2R$. Общее эквивалентное сопротивление цепи для положительного полупериода равно:

$R_1 = \frac{(2R) \cdot (2R)}{2R + 2R} = \frac{4R^2}{4R} = R$

2. Анализ цепи в течение отрицательного полупериода ($U(t) < 0$).

Когда напряжение на верхней клемме отрицательно относительно нижней, оба диода смещены в прямом направлении. Аноды диодов находятся под более высоким потенциалом, чем их катоды. Идеальные диоды в прямом смещении имеют нулевое сопротивление, то есть представляют собой короткое замыкание.

Левый диод, включенный непосредственно на входе цепи, закорачивает входные клеммы. Весь ток от источника будет протекать через этот диод, минуя всю остальную цепь с резисторами. Так как напряжение на резистивной части цепи будет равно нулю, мощность, выделяющаяся на резисторах, также будет равна нулю.

$P(t) = 0$ при $U(t) < 0$.

Теплота выделяется только в идеальном диоде, но для идеального диода (с нулевым сопротивлением) выделяемая теплота равна нулю.

3. Расчет количества теплоты.

Теплота в цепи выделяется только в течение положительных полупериодов. Найдем количество теплоты, выделившееся за один полный период $T$.

Период колебаний: $T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50} = 0.02$ с.

Мгновенная мощность в положительный полупериод ($0 \le t \le T/2$):

$P(t) = \frac{U^2(t)}{R_1} = \frac{(A \sin(Bt))^2}{R}$

Количество теплоты за один период $Q_T$ равно интегралу мощности по времени от $0$ до $T/2$:

$Q_T = \int_0^{T/2} P(t) dt = \int_0^{T/2} \frac{A^2 \sin^2(Bt)}{R} dt$

Используем тригонометрическую формулу $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$Q_T = \frac{A^2}{R} \int_0^{T/2} \frac{1 - \cos(2Bt)}{2} dt = \frac{A^2}{2R} \left[ t - \frac{\sin(2Bt)}{2B} \right]_0^{T/2}$

$Q_T = \frac{A^2}{2R} \left( (\frac{T}{2} - \frac{\sin(2B \cdot T/2)}{2B}) - (0 - \frac{\sin(0)}{2B}) \right) = \frac{A^2}{2R} (\frac{T}{2} - \frac{\sin(BT)}{2B})$

Так как $BT = B \cdot \frac{2\pi}{B} = 2\pi$, то $\sin(BT) = \sin(2\pi) = 0$.

$Q_T = \frac{A^2}{2R} \cdot \frac{T}{2} = \frac{A^2 T}{4R}$

Это количество теплоты за один период. За время $t = 10T$ выделится теплота:

$Q = 10 \cdot Q_T = 10 \cdot \frac{A^2 T}{4R} = \frac{5 A^2 T}{2R}$

Подставим числовые значения:

$Q = \frac{5 \cdot (80 \text{ В})^2 \cdot 0.02 \text{ с}}{2 \cdot 40 \text{ Ом}} = \frac{5 \cdot 6400 \cdot 0.02}{80} = \frac{5 \cdot 80 \cdot 0.02}{1} = 400 \cdot 0.02 = 8$ Дж.

Ответ: $Q = 8$ Дж.