Номер 239, страница 75 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

239. *На рисунке 65 представлена зависимость напряжения на электроплитке, имеющей нагревательный элемент сопротивлением $R = 60 \text{ Ом}$, от времени. В момент времени $t_A = \frac{25}{3} \text{ мс}$ напряжение на электроплитке равно $U_A$, а в момент времени $t_B = 15 \text{ мс}$ равно $U_B$. Разность напряжений $U_A - U_B = 450 \text{ В}$. На электроплитке нагревается вода массой $m = 2,0 \text{ кг}$. Определите изменение температуры воды за время $t = 7,0 \text{ мин}$, если КПД электроплитки $\eta = 80 \%$.

Рис. 65

Дано:
Сопротивление: $R = 60$ Ом
Момент времени А: $t_A = \frac{25}{3}$ мс
Момент времени В: $t_B = 15$ мс
Разность напряжений: $U_A - U_B = 450$ В
Масса воды: $m = 2,0$ кг
Время нагрева: $t = 7,0$ мин
КПД: $\eta = 80$ %
Удельная теплоемкость воды: $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$

Перевод в систему СИ:
$t_A = \frac{25}{3} \cdot 10^{-3}$ с
$t_B = 15 \cdot 10^{-3}$ с
$t = 7,0 \cdot 60 = 420$ с
$\eta = 0,8$

Найти:
Изменение температуры воды: $\Delta T$

Решение:

1. Напряжение на электроплитке изменяется по гармоническому закону. Поскольку при $t=0$ напряжение $U=0$ и далее возрастает, зависимость напряжения от времени можно описать функцией синуса: $U(t) = U_m \sin(\omega t)$, где $U_m$ – амплитудное значение напряжения, а $\omega$ – циклическая частота.

2. Из графика определяем период колебаний $T = 20$ мс $= 20 \cdot 10^{-3}$ с.Циклическая частота связана с периодом соотношением:$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{20 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = 100\pi$ рад/с.

3. Найдем амплитудное значение напряжения $U_m$, используя данные для точек A и B.В момент времени $t_A = \frac{25}{3} \cdot 10^{-3}$ с напряжение равно:$U_A = U_m \sin(100\pi \cdot \frac{25}{3} \cdot 10^{-3}) = U_m \sin(\frac{25\pi}{3}) = U_m \sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) = U_m \sin(\frac{\pi}{3}) = U_m \frac{\sqrt{3}}{2}$.

В момент времени $t_B = 15 \cdot 10^{-3}$ с напряжение равно:$U_B = U_m \sin(100\pi \cdot 15 \cdot 10^{-3}) = U_m \sin(\frac{3\pi}{2}) = -U_m$.

Используем заданную разность напряжений $U_A - U_B = 450$ В:$U_m \frac{\sqrt{3}}{2} - (-U_m) = 450$$U_m (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) = 450$$U_m = \frac{450}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{900}{2 + \sqrt{3}}$ В.

4. Количество теплоты $W$, выделяемое на плитке за время $t$, можно найти через среднюю мощность $P_{ср}$. Средняя мощность для переменного синусоидального тока равна $P_{ср} = \frac{U_{eff}^2}{R}$, где $U_{eff}$ – действующее (эффективное) значение напряжения. Действующее напряжение связано с амплитудным как $U_{eff} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$.

Тогда общее количество выделившейся теплоты за время $t = 420$ с равно:$W = P_{ср} \cdot t = \frac{U_{eff}^2}{R} t = \frac{U_m^2}{2R} t$.Подставим выражение для $U_m$:$W = \frac{1}{2R} \left( \frac{900}{2 + \sqrt{3}} \right)^2 t = \frac{810000}{2 \cdot 60 \cdot (2 + \sqrt{3})^2} \cdot 420 = \frac{2835000}{(2 + \sqrt{3})^2}$ Дж.

5. Полезное количество теплоты $Q_{полезн}$, которое пошло на нагрев воды, составляет $\eta = 80\%$ от общего количества теплоты:$Q_{полезн} = \eta \cdot W$.Количество теплоты для нагрева воды равно $Q_{полезн} = c m \Delta T$.Приравняем выражения для $Q_{полезн}$ и выразим $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{\eta \cdot W}{c m} = \frac{0,8 \cdot \frac{2835000}{(2 + \sqrt{3})^2}}{4200 \cdot 2,0} = \frac{2268000}{8400 \cdot (2 + \sqrt{3})^2} = \frac{270}{(2 + \sqrt{3})^2}$ °C.

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки в знаменателе $(2 + \sqrt{3})^2 = 4+4\sqrt{3}+3 = 7+4\sqrt{3}$ и домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(7-4\sqrt{3})$:$\Delta T = \frac{270}{7+4\sqrt{3}} = \frac{270(7-4\sqrt{3})}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} = \frac{270(7-4\sqrt{3})}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{270(7-4\sqrt{3})}{49 - 48} = 270(7-4\sqrt{3})$ °C.

6. Вычислим числовое значение, приняв $\sqrt{3} \approx 1,732$:$\Delta T \approx 270(7 - 4 \cdot 1,732) = 270(7 - 6,928) = 270 \cdot 0,072 \approx 19,44$ °C.

С учетом точности исходных данных ($m=2,0$ кг, $t=7,0$ мин), округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: изменение температуры воды составит $\Delta T \approx 19$ °C.