Номер 234, страница 73 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

234. *Водонагреватель работает от сети переменного тока, в которой сила тока изменяется по закону: $I(t) = B\sin(Ct)$, где $B = 5,0 \text{ А}$, $C = 100\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. При температуре $t_0 = 0 \text{ °С}$ сопротивление спирали водонагревателя $R_0 = 50 \text{ Ом}$. Температурный коэффициент сопротивления материала спирали $\alpha = 6,0 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$. Определите объем воды, превратившейся при ее кипении в пар за время $\tau = 1,0 \cdot 10^4 T$, где $T$ — период колебаний силы тока.

Температура кипения воды $t_{\text{к}} = 100 \text{ °С}$. Потери теплоты составляют $\eta = 20 \%$. Удельная теплота парообразования воды $L = 2,26 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}}$.

Дано:

Закон изменения силы тока: $I(t) = B\sin(Ct)$

Амплитуда силы тока: $B = 5,0$ А

Циклическая частота: $C = 100\pi$ рад/с

Начальная температура воды: $t_0 = 0$ °C

Сопротивление спирали при $t_0$: $R_0 = 50$ Ом

Температурный коэффициент сопротивления: $\alpha = 6,0 \cdot 10^{-3}$ К⁻¹

Время работы: $\tau = 1,0 \cdot 10^4 T$

Температура кипения воды: $t_к = 100$ °C

Потери теплоты: $\eta = 20 \% = 0,2$

Удельная теплота парообразования воды: $L = 2,26 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}} = 2,26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Справочные данные:

Удельная теплоемкость воды: $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

Плотность воды: $\rho = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

$V$

Решение:

1. Сила тока в цепи изменяется по гармоническому закону $I(t) = B\sin(Ct)$. Сравнивая это уравнение с общей формой $I(t) = I_m\sin(\omega t)$, находим циклическую частоту тока $\omega = C = 100\pi$ рад/с. Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{C} = \frac{2\pi}{100\pi \text{ рад/с}} = 0,02$ с.

2. Время работы водонагревателя $\tau$ по условию составляет $1,0 \cdot 10^4$ периодов:

$\tau = 1,0 \cdot 10^4 T = 1,0 \cdot 10^4 \cdot 0,02 \text{ с} = 200$ с.

3. В процессе кипения температура спирали водонагревателя равна температуре кипения воды, то есть $t_к = 100$ °C. Сопротивление спирали $R$ при этой температуре зависит от ее сопротивления $R_0$ при начальной температуре $t_0$ и температурного коэффициента сопротивления $\alpha$:

$R = R_0(1 + \alpha(t_к - t_0))$

$R = 50 \text{ Ом} \cdot (1 + 6,0 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1} \cdot (100 \text{ °C} - 0 \text{ °C})) = 50 \cdot (1 + 0,6) = 80$ Ом.

4. Количество теплоты $Q_{выд}$, выделяемое нагревателем, рассчитывается по закону Джоуля-Ленца. Для переменного тока используется его действующее (среднеквадратичное) значение $I_{действ}$, которое для синусоидального тока равно $I_{действ} = B / \sqrt{2}$:

$Q_{выд} = I_{действ}^2 R \tau = \left(\frac{B}{\sqrt{2}}\right)^2 R \tau = \frac{B^2}{2} R \tau$

$Q_{выд} = \frac{(5,0 \text{ А})^2}{2} \cdot 80 \text{ Ом} \cdot 200 \text{ с} = \frac{25}{2} \cdot 16000 \text{ Дж} = 200000 \text{ Дж} = 2,0 \cdot 10^5$ Дж.

5. Потери теплоты составляют $\eta = 20 \%$, значит, на нагрев и парообразование воды идет $(100\% - 20\%) = 80\%$ выделившейся энергии. Полезное количество теплоты $Q_{полезн}$ равно:

$Q_{полезн} = Q_{выд} \cdot (1 - \eta) = 2,0 \cdot 10^5 \text{ Дж} \cdot (1 - 0,2) = 1,6 \cdot 10^5$ Дж.

6. Полезная теплота расходуется на два процесса: нагревание массы воды $m$ от $t_0 = 0$ °C до температуры кипения $t_к = 100$ °C и последующее превращение этой же массы воды в пар. Таким образом:

$Q_{полезн} = Q_{нагрев} + Q_{парообр} = c m (t_к - t_0) + L m = m(c(t_к - t_0) + L)$

7. Из этого уравнения выражаем и находим массу воды $m$:

$m = \frac{Q_{полезн}}{c(t_к - t_0) + L} = \frac{1,6 \cdot 10^5 \text{ Дж}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}} \cdot 100 \text{ К} + 2,26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = \frac{1,6 \cdot 10^5}{4,2 \cdot 10^5 + 22,6 \cdot 10^5} \text{ кг} = \frac{1,6}{26,8} \text{ кг} \approx 0,0597$ кг.

8. Зная массу воды и ее плотность ($\rho \approx 1000$ кг/м³), находим искомый объем $V$:

$V = \frac{m}{\rho} = \frac{0,0597 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3} \approx 5,97 \cdot 10^{-5}$ м³.

Округляя результат до двух значащих цифр в соответствии с точностью исходных данных, получаем:

$V \approx 6,0 \cdot 10^{-5}$ м³.

Ответ: $V \approx 6,0 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$.