Номер 237, страница 74 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

237. *К источнику переменного напряжения подключили электрическую цепь (рис. 63), состоящую из двух идеальных диодов и трех резисторов, сопротивления которых $R_1 = 60$ Ом, $R_2 = 120$ Ом, $R_3 = 120$ Ом. Определите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в цепи, если максимальное значение напряжения на клеммах источника $U_0 = 60$ В.

Рис. 63

Дано:

$R_1 = 60$ Ом

$R_2 = 120$ Ом

$R_3 = 120$ Ом

$U_0 = 60$ В

Найти:

$\langle P \rangle$ - среднюю тепловую мощность.

Решение:

Источник переменного напряжения создает в цепи напряжение, изменяющееся по синусоидальному закону: $U(t) = U_0 \sin(\omega t)$. Диоды в цепи являются идеальными, что означает, что в прямом направлении их сопротивление равно нулю, а в обратном — бесконечно велико (разрыв цепи). Поведение цепи будет различным в течение положительного и отрицательного полупериодов напряжения.

1. Положительный полупериод ($0 \le t \le T/2$, $U(t) > 0$)

В этот промежуток времени потенциал верхнего входного клеммы выше, чем потенциал нижнего. Проанализируем состояние диодов:

• Верхний диод: ток пытается течь от резистора $R_1$ вправо. Это направление совпадает с прямым направлением диода, поэтому он открыт и его сопротивление равно нулю (он ведет себя как проводник).

• Нижний диод: ток пытается течь от нижней клеммы влево. Это направление является обратным для диода, поэтому он закрыт и его сопротивление бесконечно (разрыв цепи).

Так как нижний диод создает разрыв в нижней ветви, ток через него и резистор $R_3$ не течет. Эквивалентная схема для этого полупериода выглядит следующим образом: резистор $R_1$ подключен к источнику. После $R_1$ цепь разветвляется на открытый верхний диод (проводник) и последовательно соединенные резисторы $R_2$ и $R_3$. Однако, поскольку нижний диод закрыт, путь через $R_2$ и $R_3$ не может быть замкнут на нижнюю клемму. Верхний же диод, будучи открытым, шунтирует (закорачивает) цепь, содержащую $R_2$ и $R_3$. Таким образом, весь ток после $R_1$ потечет через верхний диод. Эффективное сопротивление цепи в этот полупериод равно сопротивлению только первого резистора.

$R_{eq,+} = R_1 = 60$ Ом

2. Отрицательный полупериод ($T/2 < t \le T$, $U(t) < 0$)

В этот промежуток времени потенциал нижней входной клеммы выше, чем потенциал верхней. Состояние диодов меняется:

• Верхний диод: ток пытается течь от правой общей точки влево к резистору $R_1$. Это направление является обратным для диода, поэтому он закрыт (разрыв цепи).

• Нижний диод: ток течет от нижней клеммы влево, что совпадает с прямым направлением диода. Он открыт, и его сопротивление равно нулю.

Поскольку верхний диод закрыт, верхняя ветвь с резистором $R_1$ и этим диодом разомкнута в этой точке. Ток от источника (теперь от нижней клеммы к верхней) течет через открытый нижний диод. После диода ток разветвляется: одна часть течет через резистор $R_3$ к правому общему проводу, а другая — через резистор $R_2$ и затем через $R_1$ к верхней клемме. Правый общий провод соединяет выход $R_3$ и выход верхнего (закрытого) диода, и эта точка фактически соединена с верхней (отрицательной) клеммой. Таким образом, резистор $R_3$ оказывается включенным параллельно последовательно соединенным резисторам $R_2$ и $R_1$.

Найдем эквивалентное сопротивление для этого полупериода:

$R_{12} = R_1 + R_2 = 60 + 120 = 180$ Ом

$R_{eq,-} = \frac{R_{12} \cdot R_3}{R_{12} + R_3} = \frac{180 \cdot 120}{180 + 120} = \frac{21600}{300} = 72$ Ом

3. Расчет средней мощности

Мгновенная мощность, выделяющаяся в цепи, равна $P(t) = \frac{U(t)^2}{R_{eq}}$, где $R_{eq}$ принимает разные значения для разных полупериодов.

Средняя мощность за период $T$ вычисляется по формуле:

$\langle P \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T P(t) dt = \frac{1}{T} \left( \int_0^{T/2} \frac{U(t)^2}{R_{eq,+}} dt + \int_{T/2}^T \frac{U(t)^2}{R_{eq,-}} dt \right)$

Подставляя $U(t) = U_0 \sin(\omega t)$ и учитывая, что $\int_0^{T/2} \sin^2(\omega t) dt = \int_{T/2}^T \sin^2(\omega t) dt = \frac{T}{4}$, получим:

$\langle P \rangle = \frac{1}{T} \left( \frac{U_0^2}{R_{eq,+}} \frac{T}{4} + \frac{U_0^2}{R_{eq,-}} \frac{T}{4} \right) = \frac{U_0^2}{4} \left( \frac{1}{R_{eq,+}} + \frac{1}{R_{eq,-}} \right)$

Теперь подставим числовые значения:

$\langle P \rangle = \frac{60^2}{4} \left( \frac{1}{60} + \frac{1}{72} \right) = \frac{3600}{4} \left( \frac{1}{60} + \frac{1}{72} \right) = 900 \left( \frac{1}{60} + \frac{1}{72} \right)$

$\langle P \rangle = \frac{900}{60} + \frac{900}{72} = 15 + 12.5 = 27.5$ Вт

Ответ: средняя тепловая мощность, выделяющаяся в цепи, равна 27,5 Вт.