Номер 235, страница 74 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

235. *Сила тока на участке цепи с активным сопротивлением $R = 50$ Ом изменяется по гармоническому закону (рис. 62). В момент времени $t_A = 15$ мс сила тока на участке цепи равна $I_A$, а в момент времени $t_B = 35$ мс она равна $I_B$. Разность сил токов $I_A - I_B = 6,0$ А. Определите количество теплоты, которое выделяется в цепи за период колебаний силы тока.

Рис. 62

Дано:

$R = 50 \text{ Ом}$

$t_A = 15 \text{ мс}$

$t_B = 35 \text{ мс}$

$I_A - I_B = 6.0 \text{ А}$

Из графика: $T = 60 \text{ мс}$

$t_A = 15 \times 10^{-3} \text{ с} = 0.015 \text{ с}$

$t_B = 35 \times 10^{-3} \text{ с} = 0.035 \text{ с}$

$T = 60 \times 10^{-3} \text{ с} = 0.06 \text{ с}$

Найти:

$Q$ - ?

Решение:

Сила тока в цепи изменяется по гармоническому закону. Из графика видно, что при $t=0$ сила тока $I=0$, следовательно, зависимость силы тока от времени можно описать уравнением синуса:

$I(t) = I_{max} \sin(\omega t)$, где $I_{max}$ — амплитуда силы тока, а $\omega$ — циклическая частота.

Период колебаний $T$ определим из графика. Один полный цикл колебаний завершается при $t = 60 \text{ мс}$.

$T = 60 \text{ мс} = 0.06 \text{ с}$.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60 \text{ мс}} = \frac{\pi}{30} \text{ рад/мс}$.

В момент времени $t_A = 15 \text{ мс}$ сила тока $I_A$ равна:

$I_A = I(t_A) = I_{max} \sin(\omega t_A) = I_{max} \sin(\frac{\pi}{30} \cdot 15) = I_{max} \sin(\frac{\pi}{2}) = I_{max}$.

Это также видно из графика, так как в точке А сила тока достигает своего максимального значения.

В момент времени $t_B = 35 \text{ мс}$ сила тока $I_B$ равна:

$I_B = I(t_B) = I_{max} \sin(\omega t_B) = I_{max} \sin(\frac{\pi}{30} \cdot 35) = I_{max} \sin(\frac{7\pi}{6})$.

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -0.5$.

Следовательно, $I_B = -0.5 I_{max}$.

По условию задачи, разность сил токов $I_A - I_B = 6.0 \text{ А}$. Подставим найденные выражения для $I_A$ и $I_B$:

$I_{max} - (-0.5 I_{max}) = 6.0 \text{ А}$

$1.5 I_{max} = 6.0 \text{ А}$

$I_{max} = \frac{6.0}{1.5} \text{ А} = 4.0 \text{ А}$.

Количество теплоты $Q$, которое выделяется в цепи за период колебаний, определяется по закону Джоуля-Ленца для переменного тока:

$Q = I_{eff}^2 R T$, где $I_{eff}$ — действующее (эффективное) значение силы тока.

Действующее значение силы тока связано с амплитудным значением $I_{max}$ соотношением:

$I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$.

Тогда формула для количества теплоты примет вид:

$Q = (\frac{I_{max}}{\sqrt{2}})^2 R T = \frac{I_{max}^2}{2} R T$.

Подставим числовые значения в систему СИ:

$Q = \frac{(4.0 \text{ А})^2}{2} \cdot 50 \text{ Ом} \cdot 0.06 \text{ с} = \frac{16}{2} \cdot 50 \cdot 0.06 \text{ Дж} = 8 \cdot 50 \cdot 0.06 \text{ Дж} = 400 \cdot 0.06 \text{ Дж} = 24 \text{ Дж}$.

Ответ: $24 \text{ Дж}$.