Номер 233, страница 73 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

233. *Кипятильник работает от сети переменного тока с действующим значением напряжения $U_{\text{д}} = 220 \text{ В}$. При температуре $t_1 = 20^\circ \text{С}$ сопротивление вольфрамовой спирали кипятильника $R_1 = 48 \text{ Ом}$. Определите массу воды, превратившейся в пар при температуре кипения $t_2 = 100^\circ \text{С}$ за время $\tau = 1,0 \text{ мин}$. Температурный коэффициент сопротивления металла спирали $\alpha = 4,6 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$. Удельная теплота парообразования воды $L = 2,26 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}}$.

Примечание. Зависимость сопротивления металлов от температуры имеет вид: $R = R_0(1 + \alpha t)$, где $R_0$ — сопротивление металла при температуре $0^\circ \text{С}$, $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления металла.

Дано:

$U_д = 220$ В

$t_1 = 20$ °C

$R_1 = 48$ Ом

$t_2 = 100$ °C

$\tau = 1,0$ мин

$\alpha = 4,6 \cdot 10^{-3}$ К⁻¹

$L = 2,26$ МДж/кг

Перевод в систему СИ:
$\tau = 1,0 \cdot 60\ с = 60\ с$
$L = 2,26 \cdot 10^6$ Дж/кг

Найти:

$m - ?$

Решение:

Количество теплоты $Q$, необходимое для превращения воды массой $m$ в пар при температуре кипения, определяется формулой:

$Q = L \cdot m$

Эта теплота выделяется спиралью кипятильника в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Так как процесс происходит при температуре кипения $t_2$, сопротивление спирали будет $R_2$. Тогда количество выделившейся теплоты за время $\tau$ равно:

$Q = P \cdot \tau = \frac{U_д^2}{R_2} \tau$

Приравняем правые части этих двух выражений:

$L \cdot m = \frac{U_д^2}{R_2} \tau$

Отсюда можем выразить массу $m$:

$m = \frac{U_д^2 \tau}{L R_2}$

Сопротивление спирали $R_2$ при температуре $t_2$ зависит от ее сопротивления $R_1$ при температуре $t_1$. Используем формулу зависимости сопротивления от температуры, данную в примечании: $R = R_0(1 + \alpha t)$, где $R_0$ — сопротивление при 0 °C.

Для температур $t_1$ и $t_2$ можем записать:

$R_1 = R_0(1 + \alpha t_1)$

$R_2 = R_0(1 + \alpha t_2)$

Разделив второе уравнение на первое, получим соотношение для $R_2$:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_0(1 + \alpha t_2)}{R_0(1 + \alpha t_1)} = \frac{1 + \alpha t_2}{1 + \alpha t_1}$

$R_2 = R_1 \frac{1 + \alpha t_2}{1 + \alpha t_1}$

Подставим это выражение для $R_2$ в формулу для массы $m$:

$m = \frac{U_д^2 \tau}{L R_1 \frac{1 + \alpha t_2}{1 + \alpha t_1}} = \frac{U_д^2 \tau (1 + \alpha t_1)}{L R_1 (1 + \alpha t_2)}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчеты. Сначала найдем сопротивление $R_2$ при температуре кипения:

$R_2 = 48\ Ом \cdot \frac{1 + 4,6 \cdot 10^{-3}\ К^{-1} \cdot 100\ °C}{1 + 4,6 \cdot 10^{-3}\ К^{-1} \cdot 20\ °C} = 48\ Ом \cdot \frac{1 + 0,46}{1 + 0,092} = 48\ Ом \cdot \frac{1,46}{1,092} \approx 64,2\ Ом$

Теперь рассчитаем массу испарившейся воды:

$m = \frac{(220\ В)^2 \cdot 60\ с}{2,26 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} \cdot 64,2\ Ом} \approx \frac{48400 \cdot 60}{145,092 \cdot 10^6} \frac{В^2 \cdot с}{Ом \cdot \frac{Дж}{кг}} = \frac{2904000}{145092000}\ кг \approx 0,020\ кг$

Переведем массу в граммы: $0,020\ кг = 20\ г$.

Ответ: $m \approx 20\ г$.