Номер 231, страница 72 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

231. *

В электрическую цепь переменного тока включены три резистора (рис. 60), сопротивления которых $R_1 = 30$ Ом, $R_2 = 20$ Ом и $R_3 = 38$ Ом. Напряжение на концах цепи изменяется по закону: $U(t) = A\sin(Bt)$, где $A = 40$ В, $B = 100\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите количество теплоты, выделяющееся в цепи за период колебаний напряжения.

Рис. 60

Дано:
$R_1 = 30$ Ом
$R_2 = 20$ Ом
$R_3 = 38$ Ом
Закон изменения напряжения: $U(t) = A\sin(Bt)$
Амплитудное напряжение: $A = 40$ В
Циклическая частота: $B = 100\pi$ рад/с
Время: $t = T$ (один период колебаний)

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Количество теплоты $Q$ за один период.

Решение:

1. Схема представляет собой смешанное соединение резисторов. Резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены параллельно, а их участок соединен последовательно с резистором $R_3$. Сначала найдем эквивалентное сопротивление параллельного участка $R_{12}$:

$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

$R_{12} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{30 \cdot 20}{30 + 20} = \frac{600}{50} = 12$ Ом

2. Теперь найдем общее (полное) сопротивление всей цепи $R_{общ}$:

$R_{общ} = R_{12} + R_3 = 12 \text{ Ом} + 38 \text{ Ом} = 50$ Ом

3. Количество теплоты, выделяемое в цепи переменного тока, определяется законом Джоуля-Ленца с использованием действующих (эффективных) значений напряжения и силы тока. Формула для теплоты через напряжение имеет вид:

$Q = \frac{U_д^2}{R_{общ}} \cdot t$

где $U_д$ – действующее значение напряжения, а $t$ – время. В нашем случае $t = T$ (период колебаний).

4. Действующее значение напряжения $U_д$ для синусоидального тока связано с амплитудным значением $A$ следующим соотношением:

$U_д = \frac{A}{\sqrt{2}}$

Тогда квадрат действующего напряжения равен:

$U_д^2 = \frac{A^2}{2} = \frac{40^2}{2} = \frac{1600}{2} = 800$ В$^2$

5. Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $B$ (в условии она обозначена как $B$, что соответствует стандартному обозначению $\omega$):

$T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{100\pi \text{ рад/с}} = \frac{2}{100} \text{ с} = 0.02$ с

6. Теперь можем рассчитать количество теплоты $Q$, выделившееся за один период:

$Q = \frac{U_д^2}{R_{общ}} \cdot T = \frac{800 \text{ В}^2}{50 \text{ Ом}} \cdot 0.02 \text{ с} = 16 \text{ Вт} \cdot 0.02 \text{ с} = 0.32$ Дж

Ответ: $Q = 0.32$ Дж.