Номер 450, страница 137 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

450. *Луч света падает из воздуха на плоскую поверхность льдины и преломляется под углом $\gamma$. Абсолютный показатель преломления льда равен $n$. Определите толщину льдины, если смещение луча при его прохождении сквозь льдину равно $d$.

Дано:

Угол преломления луча в льдине: $\gamma$

Абсолютный показатель преломления льда: $n$

Смещение луча: $d$

Показатель преломления воздуха принимаем равным $n_{возд} \approx 1$.

Найти:

Толщину льдины: $h$

Решение:

Рассмотрим ход луча света через плоскую параллельную пластину (льдину) толщиной $h$. Пусть луч падает на поверхность льдины под углом падения $\alpha$. После преломления на границе воздух-лед он распространяется в льдине под углом преломления $\gamma$ к нормали. Затем луч выходит из льдины в воздух, и так как поверхности льдины параллельны, угол выхода снова будет равен $\alpha$. Вышедший луч будет параллелен первоначальному направлению падающего луча, но смещен на расстояние $d$.

1. Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для первой границы (воздух-лед):

$n_{возд} \cdot \sin(\alpha) = n \cdot \sin(\gamma)$

Так как $n_{возд} \approx 1$, получаем:

$\sin(\alpha) = n \cdot \sin(\gamma)$

Это уравнение связывает известный нам угол преломления $\gamma$ с неизвестным углом падения $\alpha$.

2. Теперь рассмотрим геометрию смещения луча. Обозначим путь луча внутри льдины как $L$. Этот путь является гипотенузой прямоугольного треугольника, одним катетом которого является толщина льдины $h$, а прилежащим углом — угол преломления $\gamma$.

Отсюда: $\cos(\gamma) = \frac{h}{L}$, следовательно, $L = \frac{h}{\cos(\gamma)}$.

3. Боковое смещение $d$ можно найти из другого прямоугольного треугольника, где гипотенузой является путь луча в льдине $L$, а угол, противолежащий катету $d$, равен $(\alpha - \gamma)$.

Отсюда: $\sin(\alpha - \gamma) = \frac{d}{L}$, следовательно, $d = L \cdot \sin(\alpha - \gamma)$.

4. Подставим выражение для $L$ из пункта 2 в формулу для $d$ из пункта 3:

$d = \frac{h}{\cos(\gamma)} \cdot \sin(\alpha - \gamma)$

Выразим из этого уравнения искомую толщину $h$:

$h = \frac{d \cdot \cos(\gamma)}{\sin(\alpha - \gamma)}$

5. Теперь нужно выразить $\sin(\alpha - \gamma)$ через известные величины $n$ и $\gamma$. Воспользуемся тригонометрической формулой синуса разности:

$\sin(\alpha - \gamma) = \sin(\alpha)\cos(\gamma) - \cos(\alpha)\sin(\gamma)$

Из закона Снеллиуса мы знаем, что $\sin(\alpha) = n \sin(\gamma)$.

Найдем $\cos(\alpha)$ через основное тригонометрическое тождество:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (n \sin(\gamma))^2} = \sqrt{1 - n^2\sin^2(\gamma)}$

Подставим выражения для $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ в формулу синуса разности:

$\sin(\alpha - \gamma) = (n \sin(\gamma))\cos(\gamma) - (\sqrt{1 - n^2\sin^2(\gamma)})\sin(\gamma)$

Можно вынести $\sin(\gamma)$ за скобки:

$\sin(\alpha - \gamma) = \sin(\gamma) (n\cos(\gamma) - \sqrt{1 - n^2\sin^2(\gamma)})$

6. Наконец, подставим полученное выражение для $\sin(\alpha - \gamma)$ в формулу для толщины $h$:

$h = \frac{d \cdot \cos(\gamma)}{\sin(\gamma) (n\cos(\gamma) - \sqrt{1 - n^2\sin^2(\gamma)})}$

Учитывая, что $\frac{\cos(\gamma)}{\sin(\gamma)} = \cot(\gamma)$, формулу можно записать так:

$h = \frac{d \cdot \cot(\gamma)}{n\cos(\gamma) - \sqrt{1 - n^2\sin^2(\gamma)}}$

Ответ: $h = \frac{d \cos(\gamma)}{\sin(\gamma) (n\cos(\gamma) - \sqrt{1 - n^2\sin^2(\gamma)})}$.