Номер 456, страница 139 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

456. *Луч света падает на одну из боковых граней прямой стеклянной треугольной призмы перпендикулярно ее плоскости и выходит из другой преломляющей грани, отклонившись от первоначального направления на угол $\theta = 30^\circ$. Определите преломляющий угол призмы, если абсолютный показатель преломления стекла $n = 1,6$.

Дано:

Угол отклонения луча, $\theta = 30°$

Абсолютный показатель преломления стекла, $n = 1,6$

Абсолютный показатель преломления воздуха, $n_{возд} \approx 1$

Найти:

Преломляющий угол призмы, $A$

Решение:

Обозначим преломляющий угол призмы как $A$. Пусть луч света падает на первую преломляющую грань призмы под углом $\alpha_1$ и преломляется под углом $\beta_1$. Затем он падает на вторую грань под углом $\beta_2$ и выходит из призмы под углом $\alpha_2$.

По условию, луч падает на первую грань перпендикулярно ее плоскости. Это означает, что угол падения $\alpha_1 = 0°$. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), угол преломления $\beta_1$ также равен нулю, так как $n_{возд} \sin(\alpha_1) = n \sin(\beta_1)$, следовательно, $1 \cdot \sin(0°) = n \sin(\beta_1)$, что означает $\beta_1 = 0°$. Таким образом, луч входит в призму, не меняя своего направления.

Далее луч распространяется внутри призмы и падает на вторую преломляющую грань. Для призмы углы связаны соотношением $A = \beta_1 + \beta_2$. Так как $\beta_1 = 0°$, то угол падения на вторую грань изнутри призмы равен преломляющему углу призмы: $\beta_2 = A$.

На второй грани луч преломляется, выходя из стекла (среда с показателем преломления $n$) в воздух (среда с показателем преломления $n_{возд} \approx 1$). Запишем закон Снеллиуса для второй грани:

$n \sin(\beta_2) = n_{возд} \sin(\alpha_2)$

Подставляя $\beta_2 = A$ и $n_{возд} = 1$, получаем:

$n \sin(A) = \sin(\alpha_2)$ (1)

Угол отклонения луча $\theta$ определяется как угол между первоначальным направлением луча и направлением луча после выхода из призмы. Для призмы в общем случае он равен $\theta = \alpha_1 + \alpha_2 - A$.

В нашем частном случае $\alpha_1 = 0°$, поэтому формула упрощается:

$\theta = \alpha_2 - A$

Отсюда мы можем выразить угол выхода $\alpha_2$:

$\alpha_2 = \theta + A$ (2)

Теперь подставим выражение (2) в уравнение (1):

$n \sin(A) = \sin(\theta + A)$

Воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$.

$n \sin(A) = \sin(\theta)\cos(A) + \cos(\theta)\sin(A)$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить $\sin(A)$ и $\cos(A)$:

$n \sin(A) - \cos(\theta)\sin(A) = \sin(\theta)\cos(A)$

$(n - \cos(\theta))\sin(A) = \sin(\theta)\cos(A)$

Разделим обе части уравнения на $\cos(A)$ (при условии, что $A \neq 90°$, что для физической призмы выполняется):

$(n - \cos(\theta))\frac{\sin(A)}{\cos(A)} = \sin(\theta)$

$(n - \cos(\theta))\tan(A) = \sin(\theta)$

Отсюда выражаем тангенс преломляющего угла $A$:

$\tan(A) = \frac{\sin(\theta)}{n - \cos(\theta)}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $n = 1,6$ и $\theta = 30°$.

$\sin(30°) = 0,5$

$\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$\tan(A) = \frac{0,5}{1,6 - 0,866} = \frac{0,5}{0,734} \approx 0,6812$

Теперь найдем сам угол $A$, взяв арктангенс от полученного значения:

$A = \arctan(0,6812) \approx 34,26°$

Прежде чем дать окончательный ответ, необходимо проверить, не происходит ли на второй грани полное внутреннее отражение. Для этого угол падения $\beta_2 = A$ должен быть меньше критического угла $\alpha_c$.

$\sin(\alpha_c) = \frac{n_{возд}}{n} = \frac{1}{1,6} = 0,625$

$\alpha_c = \arcsin(0,625) \approx 38,68°$

Поскольку $A \approx 34,3° < 38,68°$, луч действительно выходит из призмы, и полное внутреннее отражение не происходит. Решение корректно.

Ответ: преломляющий угол призмы $A \approx 34,3°$.