Номер 463, страница 140 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

463. *На одну из боковых граней стеклянной треугольной призмы, преломляющий угол которой $\varphi = 75^\circ$, падает луч света и преломляется под углом, в два раза меньшим угла падения. Определите угол, под которым луч света падает на другую преломляющую грань, если абсолютный показатель преломления стекла $n = \sqrt{3}$.

Дано:

Преломляющий угол призмы: $\phi = 75^\circ$
Абсолютный показатель преломления стекла: $n = \sqrt{3}$
Связь между углом падения на первую грань ($\alpha_1$) и углом преломления ($\beta_1$): $\beta_1 = \frac{\alpha_1}{2}$
Показатель преломления воздуха: $n_{возд} \approx 1$

Найти:

Угол падения на вторую преломляющую грань: $\alpha_2$

Решение:

Рассмотрим преломление луча света на первой грани призмы. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), при переходе луча из воздуха в стекло выполняется соотношение:

$n_{возд} \sin \alpha_1 = n \sin \beta_1$

Поскольку показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$, уравнение принимает вид:

$\sin \alpha_1 = n \sin \beta_1$

По условию задачи, угол преломления $\beta_1$ в два раза меньше угла падения $\alpha_1$, то есть $\beta_1 = \frac{\alpha_1}{2}$. Подставим это соотношение в закон преломления:

$\sin \alpha_1 = n \sin \frac{\alpha_1}{2}$

Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Применительно к нашему случаю, где $2x = \alpha_1$:

$2 \sin \frac{\alpha_1}{2} \cos \frac{\alpha_1}{2} = n \sin \frac{\alpha_1}{2}$

Так как луч падает на призму, угол падения $\alpha_1 \neq 0$, следовательно, $\sin \frac{\alpha_1}{2} \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\sin \frac{\alpha_1}{2}$:

$2 \cos \frac{\alpha_1}{2} = n$

Отсюда:

$\cos \frac{\alpha_1}{2} = \frac{n}{2}$

Подставим известное значение показателя преломления стекла $n = \sqrt{3}$:

$\cos \frac{\alpha_1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этого следует, что арккосинус этого значения равен $30^\circ$, то есть:

$\frac{\alpha_1}{2} = 30^\circ$

Тогда угол падения на первую грань $\alpha_1 = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.Соответственно, угол преломления на первой грани $\beta_1 = \frac{\alpha_1}{2} = 30^\circ$.

Для треугольной призмы преломляющий угол $\phi$ связан с углом преломления на первой грани $\beta_1$ и углом падения луча на вторую грань $\alpha_2$ (измеряемым от нормали к этой грани) соотношением:

$\phi = \beta_1 + \alpha_2$

Выразим искомый угол падения на вторую грань $\alpha_2$:

$\alpha_2 = \phi - \beta_1$

Подставим известные значения $\phi = 75^\circ$ и $\beta_1 = 30^\circ$:

$\alpha_2 = 75^\circ - 30^\circ = 45^\circ$

Ответ: угол, под которым луч света падает на другую преломляющую грань, равен $45^\circ$.