Номер 468, страница 141 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

468. *Луч света падает под углом $\alpha = 40^\circ$ на одну из боковых граней правильной треугольной призмы. Полностью отражается от второй посеребренной грани и выходит через третью грань в воздух. На какой угол от первоначального направления отклоняется луч света после прохождения через призму, если этот угол больше $90^\circ$?

Дано:

Угол падения луча света на первую грань правильной треугольной призмы: $ \alpha = 40^\circ $.

Призма является правильной треугольной, следовательно, все углы в ее поперечном сечении равны $ A = 60^\circ $.

Угол отклонения луча света после прохождения через призму $ \delta > 90^\circ $.

Найти:

Угол отклонения луча света $ \delta $.

Решение:

Рассмотрим ход луча света в главном сечении призмы, которое представляет собой равносторонний треугольник с углами $ 60^\circ $.

1. Преломление на первой грани.

Луч света падает из воздуха на первую грань призмы под углом падения $ \alpha = 40^\circ $. Пусть показатель преломления материала призмы равен $ n $. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$ \sin\alpha = n \sin\beta $

где $ \beta $ — угол преломления луча внутри призмы.

2. Падение на вторую (посеребренную) грань.

Преломленный луч падает на вторую грань призмы. Найдем угол падения $ \gamma $ на эту грань. Угол между первой и второй гранями призмы равен $ A = 60^\circ $. Углы $ \beta $ и $ \gamma $ (угол падения на вторую грань) связаны с углом призмы $ A $ соотношением:

$ A = \beta + \gamma $

Отсюда, $ \gamma = A - \beta = 60^\circ - \beta $.

3. Отражение от второй грани.

Вторая грань посеребрена, поэтому происходит зеркальное отражение. Угол отражения равен углу падения: $ \gamma' = \gamma = 60^\circ - \beta $.

4. Падение на третью грань и выход в воздух.

Отраженный луч падает на третью грань призмы. Найдем угол падения $ \varepsilon $ на эту грань. Угол между второй и третьей гранями также равен $ A = 60^\circ $. Из геометрических соображений можно показать, что угол падения $ \varepsilon $ на третью грань связан с углом отражения от второй грани. Рассмотрим треугольник, образованный лучом внутри призмы и вершиной между второй и третьей гранями. Угол при этой вершине равен $ 60^\circ $. Угол, который отраженный луч образует со второй гранью, равен $ 90^\circ - \gamma' = 90^\circ - (60^\circ - \beta) = 30^\circ + \beta $. Тогда угол, который луч образует с третьей гранью, будет равен $ 180^\circ - 60^\circ - (30^\circ + \beta) = 90^\circ - \beta $. Следовательно, угол падения на третью грань (угол с нормалью) равен:

$ \varepsilon = 90^\circ - (90^\circ - \beta) = \beta $.

При выходе луча из призмы в воздух происходит преломление. Пусть угол выхода (угол преломления в воздухе) равен $ \zeta $. По закону Снеллиуса:

$ n \sin\varepsilon = \sin\zeta $

Так как $ \varepsilon = \beta $, получаем $ n \sin\beta = \sin\zeta $. Из преломления на первой грани мы знаем, что $ n \sin\beta = \sin\alpha $. Следовательно, $ \sin\zeta = \sin\alpha $, откуда $ \zeta = \alpha = 40^\circ $.

5. Расчет общего угла отклонения.

Полный угол отклонения $ \delta $ является суммой отклонений на каждой из трех поверхностей. Анализ хода луча показывает, что все три отклонения (два преломления и одно отражение) происходят в одном направлении (например, по часовой стрелке). Поэтому мы можем сложить величины этих отклонений.

Отклонение на первой грани: $ \delta_1 = \alpha - \beta $.

Отклонение при отражении от второй грани: $ \delta_2 = 180^\circ - 2\gamma = 180^\circ - 2(60^\circ - \beta) = 180^\circ - 120^\circ + 2\beta = 60^\circ + 2\beta $.

Отклонение на третьей грани: $ \delta_3 = \zeta - \varepsilon = \alpha - \beta $.

Суммарное отклонение:

$ \delta = \delta_1 + \delta_2 + \delta_3 = (\alpha - \beta) + (60^\circ + 2\beta) + (\alpha - \beta) $

$ \delta = 2\alpha - \beta + 2\beta - \beta + 60^\circ = 2\alpha + 60^\circ $

Как видно, итоговая формула не зависит от показателя преломления призмы $ n $ (и, соответственно, от угла $ \beta $).

Подставим известное значение $ \alpha = 40^\circ $:

$ \delta = 2 \cdot 40^\circ + 60^\circ = 80^\circ + 60^\circ = 140^\circ $

Полученное значение $ 140^\circ $ удовлетворяет условию задачи $ \delta > 90^\circ $.

Ответ: Угол отклонения луча света после прохождения через призму составляет $ 140^\circ $.