Номер 469, страница 141 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

469. *Дифракционную решетку, состоящую из параллельных проволочек, расположенных с периодом $d$, поместили в аквариум с водой (рис. 124). Плоскость решетки параллельна двум стенкам аквариума и перпендикулярна оптической оси системы. На стенку аквариума из воздуха падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны $\lambda$, распространяющийся вдоль оптической оси. Чему равен:

а) угол между направлением на первый дифракционный максимум и оптической осью для световых волн, выходящих из решетки;

б) угол между направлением на первый дифракционный максимум и оптической осью для световых волн, выходящих из аквариума?

Рис. 124

Дано:

Период дифракционной решетки: $d$

Длина волны света в воздухе (вакууме): $\lambda$

Показатель преломления воды: $n$

Показатель преломления воздуха: $n_{возд} \approx 1$

Найти:

а) Угол $\alpha$ между направлением на первый дифракционный максимум и оптической осью для световых волн, выходящих из решетки (в воде).

б) Угол $\beta$ между направлением на первый дифракционный максимум и оптической осью для световых волн, выходящих из аквариума (в воздух).

Решение:

а) угол между направлением на первый дифракционный максимум и оптической осью для световых волн, выходящих из решетки;

При переходе света из воздуха в воду его длина волны изменяется. Если в воздухе длина волны равна $\lambda$, то в воде с показателем преломления $n$ она станет равной $\lambda_в$:

$\lambda_в = \frac{\lambda}{n}$

Дифракция света происходит на решетке, помещенной в воду. Условие возникновения дифракционного максимума определяется формулой:

$d \sin \alpha = k \lambda_в$

где $k$ — порядок максимума. Для первого дифракционного максимума $k = 1$. Подставим в формулу значения $k$ и $\lambda_в$:

$d \sin \alpha = 1 \cdot \frac{\lambda}{n}$

Из этого выражения найдем синус угла дифракции $\alpha$ в воде:

$\sin \alpha = \frac{\lambda}{dn}$

Следовательно, сам угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{\lambda}{dn}\right)$

Ответ: $\alpha = \arcsin\left(\frac{\lambda}{dn}\right)$

б) угол между направлением на первый дифракционный максимум и оптической осью для световых волн, выходящих из аквариума?

Лучи света, дифрагировавшие в воде под углом $\alpha$, выходят из аквариума обратно в воздух. На границе раздела вода-воздух происходит преломление света. Угол падения лучей на эту границу равен углу дифракции $\alpha$, а угол преломления, под которым лучи выходят в воздух, обозначим как $\beta$.

По закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$

В данном случае свет переходит из воды (среда 1) в воздух (среда 2), поэтому $n_1 = n$, $\theta_1 = \alpha$, $n_2 = n_{возд} \approx 1$, $\theta_2 = \beta$. Закон преломления принимает вид:

$n \sin \alpha = 1 \cdot \sin \beta$

Из решения пункта а) мы знаем, что $\sin \alpha = \frac{\lambda}{dn}$. Подставим это выражение в закон преломления:

$n \left(\frac{\lambda}{dn}\right) = \sin \beta$

Сокращая показатель преломления $n$, получаем:

$\sin \beta = \frac{\lambda}{d}$

Следовательно, искомый угол $\beta$ равен:

$\beta = \arcsin\left(\frac{\lambda}{d}\right)$

Интересно отметить, что конечный угол выхода лучей из аквариума не зависит от показателя преломления воды и совпадает с углом дифракции, который наблюдался бы, если бы решетка изначально находилась в воздухе.

Ответ: $\beta = \arcsin\left(\frac{\lambda}{d}\right)$