Номер 465, страница 141 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

465. *Угол падения луча света на прямую трехгранную призму и угол преломления этого луча при выходе из призмы одинаковы. Угол отклонения луча призмой от первоначального направления $\theta = 30^\circ$. Преломляющий угол призмы $\varphi = 60^\circ$. Определите:

a) угол падения луча на призму;

б) абсолютный показатель преломления материала призмы.

Дано:

Угол отклонения луча, $\theta = 30°$

Преломляющий угол призмы, $\phi = 60°$

Угол падения луча на призму $\alpha_1$ равен углу преломления этого луча при выходе из призмы $\alpha_2$, т.е. $\alpha_1 = \alpha_2$.

Абсолютный показатель преломления среды, из которой луч падает на призму (воздух), $n_{air} = 1$.

Найти:

а) угол падения луча на призму $\alpha_1$;

б) абсолютный показатель преломления материала призмы $n$.

Решение:

Прохождение луча света через трехгранную призму описывается набором формул. Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для первой и второй граней призмы:

$\sin{\alpha_1} = n \sin{\beta_1}$ (1)

$\sin{\alpha_2} = n \sin{\beta_2}$ (2)

Здесь $\alpha_1$ – угол падения на первую грань, $\beta_1$ – угол преломления в призме на первой грани, $\beta_2$ – угол падения на вторую грань изнутри призмы, $\alpha_2$ – угол преломления при выходе из призмы.

Углы также связаны геометрическими соотношениями:

$\phi = \beta_1 + \beta_2$ (3)

$\theta = \alpha_1 + \alpha_2 - \phi$ (4)

В условии задачи сказано, что $\alpha_1 = \alpha_2$. Этот случай соответствует симметричному ходу луча через призму, при котором угол отклонения является минимальным. Из равенства $\alpha_1 = \alpha_2$ и формул (1) и (2) следует, что $\sin{\beta_1} = \sin{\beta_2}$, а значит и $\beta_1 = \beta_2$.

а) угол падения луча на призму

Для нахождения угла падения $\alpha_1$ воспользуемся формулой (4) для угла отклонения, подставив в нее условие $\alpha_1 = \alpha_2$:

$\theta = \alpha_1 + \alpha_1 - \phi = 2\alpha_1 - \phi$

Выразим из этого соотношения $\alpha_1$:

$2\alpha_1 = \theta + \phi$

$\alpha_1 = \frac{\theta + \phi}{2}$

Подставим известные значения $\theta = 30°$ и $\phi = 60°$:

$\alpha_1 = \frac{30° + 60°}{2} = \frac{90°}{2} = 45°$

Ответ: угол падения луча на призму равен $45°$.

б) абсолютный показатель преломления материала призмы

Для определения показателя преломления $n$ воспользуемся законом Снеллиуса для первой грани (1):

$n = \frac{\sin{\alpha_1}}{\sin{\beta_1}}$

Угол $\alpha_1$ мы нашли в предыдущем пункте. Необходимо найти угол $\beta_1$.

Используем соотношение (3) и выведенное нами равенство $\beta_1 = \beta_2$:

$\phi = \beta_1 + \beta_1 = 2\beta_1$

Отсюда находим $\beta_1$:

$\beta_1 = \frac{\phi}{2}$

Подставим значение преломляющего угла $\phi = 60°$:

$\beta_1 = \frac{60°}{2} = 30°$

Теперь мы можем рассчитать показатель преломления $n$, подставив значения $\alpha_1 = 45°$ и $\beta_1 = 30°$:

$n = \frac{\sin{45°}}{\sin{30°}}$

Используя табличные значения синусов:

$\sin{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin{30°} = \frac{1}{2}$

Получаем:

$n = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \approx 1,414$

Ответ: абсолютный показатель преломления материала призмы равен $\sqrt{2}$.