Номер 459, страница 139 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

459. *Луч света падает из воздуха перпендикулярно на одну из боковых граней прямой треугольной стеклянной призмы. Отраженный от второй грани и преломленный на ней лучи оказались взаимно перпендикулярными. Определите преломляющий угол призмы, если абсолютный показатель преломления стекла равен $n$.

Дано:

Абсолютный показатель преломления стекла призмы: $n$

Показатель преломления воздуха: $n_{воздуха} \approx 1$

Угол между отраженным и преломленным лучами на второй грани: $90^\circ$

Луч падает на первую грань перпендикулярно.

Найти:

Преломляющий угол призмы $A$.

Решение:

1. Поскольку луч света падает из воздуха перпендикулярно на первую боковую грань призмы, угол падения на эту грань равен $0^\circ$. Согласно закону преломления света, угол преломления также равен $0^\circ$. Это означает, что луч входит в призму, не меняя своего направления.

2. Рассмотрим ход луча внутри призмы до второй грани. Пусть преломляющий угол призмы (угол между первой и второй боковыми гранями) равен $A$. Так как луч вошел в призму перпендикулярно первой грани, то внутри призмы он образует с первой гранью угол $90^\circ$. В треугольнике, образованном лучом и двумя гранями, углы будут равны $A$, $90^\circ$ и $90^\circ - A$. Угол $90^\circ - A$ — это угол между лучом и второй гранью. Угол падения $\alpha$ на вторую грань — это угол между лучом и нормалью к этой грани. Поскольку нормаль перпендикулярна грани, то угол падения равен: $\alpha = 90^\circ - (90^\circ - A) = A$ Таким образом, угол падения луча на вторую грань равен преломляющему углу призмы $A$.

3. На второй грани луч частично отражается и частично преломляется, выходя в воздух. Угол отражения $\alpha'$ равен углу падения $\alpha$ по закону отражения. Угол преломления обозначим $\beta$. По условию, отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны. Отраженный луч и преломленный луч находятся по разные стороны от нормали к поверхности раздела. Следовательно, сумма угла отражения и угла преломления равна $90^\circ$. $\alpha' + \beta = 90^\circ$ Так как $\alpha' = \alpha$, то $\alpha + \beta = 90^\circ$

4. Применим закон преломления Снеллиуса для второй грани, где свет переходит из стекла (показатель преломления $n$) в воздух (показатель преломления $n_{воздуха} \approx 1$): $n \cdot \sin\alpha = n_{воздуха} \cdot \sin\beta$ $n \sin\alpha = 1 \cdot \sin\beta$ $n \sin\alpha = \sin\beta$

5. Из соотношения $\alpha + \beta = 90^\circ$ выразим $\beta = 90^\circ - \alpha$ и подставим в закон преломления: $n \sin\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$ Используя тригонометрическую формулу $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$, получим: $n \sin\alpha = \cos\alpha$ Отсюда находим тангенс угла падения $\alpha$: $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{n}$ $\tan\alpha = \frac{1}{n}$

6. Так как мы установили, что угол падения на вторую грань $\alpha$ равен преломляющему углу призмы $A$, то: $\tan A = \frac{1}{n}$ Следовательно, преломляющий угол призмы $A$ можно найти как: $A = \arctan(\frac{1}{n})$

Ответ: Преломляющий угол призмы равен $A = \arctan(\frac{1}{n})$.