Номер 452, страница 137 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

452. *Луч света падает под углом $\alpha = 30^\circ$ на плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной $h = 4,1$ см и, пройдя ее, смещается на расстояние $d = 1,0$ см. Определите абсолютный показатель преломления стеклянной пластинки.

Дано:

Угол падения луча, $ \alpha = 30^\circ $

Толщина стеклянной пластинки, $ h = 4,1 \text{ см} $

Смещение луча, $ d = 1,0 \text{ см} $

$ h = 4,1 \cdot 10^{-2} \text{ м} $

$ d = 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м} $

Найти:

Абсолютный показатель преломления стеклянной пластинки, $ n $.

Решение:

Когда луч света проходит через плоскопараллельную стеклянную пластинку, он преломляется на обеих границах раздела сред (воздух-стекло и стекло-воздух). Луч, вышедший из пластинки, оказывается параллельным первоначальному лучу, но смещенным в сторону на расстояние $ d $.

На первой границе (воздух-стекло) согласно закону преломления света (закону Снеллиуса) имеем:

$ n_1 \sin \alpha = n \sin \beta $

где $ n_1 $ - показатель преломления воздуха ($ n_1 \approx 1 $), $ n $ - искомый показатель преломления стекла, $ \alpha $ - угол падения, $ \beta $ - угол преломления. Тогда:

$ \sin \alpha = n \sin \beta \quad (1) $

Теперь рассмотрим геометрию прохождения луча внутри пластинки. Смещение $ d $ можно связать с толщиной пластинки $ h $ и углами $ \alpha $ и $ \beta $. Из геометрических соображений можно вывести формулу для бокового смещения луча:

$ d = \frac{h \sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta} $

Для дальнейших вычислений преобразуем эту формулу, используя тригонометрическую формулу для синуса разности углов $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $:

$ d = \frac{h (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)}{\cos \beta} $

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:

$ d = h \left( \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \beta} - \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \beta} \right) = h (\sin \alpha - \cos \alpha \tan \beta) \quad (2) $

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными, $ n $ и $ \beta $. Наша цель — найти $ n $. Для этого сначала найдем угол $ \beta $ из уравнения (2).

Выразим $ \tan \beta $ из уравнения (2):

$ \frac{d}{h} = \sin \alpha - \cos \alpha \tan \beta $

$ \cos \alpha \tan \beta = \sin \alpha - \frac{d}{h} $

$ \tan \beta = \frac{\sin \alpha - d/h}{\cos \alpha} $

Подставим числовые значения из условия задачи:

$ \tan \beta = \frac{\sin 30^\circ - 1,0/4,1}{\cos 30^\circ} = \frac{0,5 - 0,2439}{\sqrt{3}/2} \approx \frac{0,2561}{0,866} \approx 0,2957 $

Зная тангенс угла преломления, найдем сам угол:

$ \beta = \arctan(0,2957) \approx 16,48^\circ $

Теперь, зная оба угла $ \alpha $ и $ \beta $, мы можем найти показатель преломления $ n $ из уравнения (1):

$ n = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} $

Подставим значения углов:

$ n = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 16,48^\circ} \approx \frac{0,5}{0,2837} \approx 1,7624 $

С учетом точности исходных данных, округляем результат.

Ответ: $ n \approx 1,76 $.