Номер 458, страница 139 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

458. *Луч света, падающий из воздуха под углом $ \alpha = 55^\circ $ на одну из боковых граней прямой стеклянной треугольной призмы, выходит из призмы перпендикулярно ко второй преломляющей грани. Определите преломляющий угол призмы, если модуль скорости распространения света внутри призмы $ v = 2,0 \cdot 10^8 \frac{\text{М}}{\text{с}} $.

Дано:

Угол падения луча на первую грань, $\alpha = 55^\circ$

Скорость света в призме, $v = 2.0 \cdot 10^8$ м/с

Показатель преломления воздуха, $n_1 \approx 1$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3.0 \cdot 10^8$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Преломляющий угол призмы, $\phi$

Решение:

1. Сначала определим абсолютный показатель преломления $n_2$ стекла, из которого изготовлена призма. Он равен отношению скорости света в вакууме $c$ к скорости света в данной среде $v$.

$n_2 = \frac{c}{v}$

Подставляем числовые значения:

$n_2 = \frac{3.0 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2.0 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 1.5$

2. Применим закон преломления света (закон Снеллиуса) для первой преломляющей грани призмы, где свет переходит из воздуха (с показателем преломления $n_1 = 1$) в стекло (с показателем преломления $n_2 = 1.5$).

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta_1$

где $\alpha = 55^\circ$ — угол падения, а $\beta_1$ — угол преломления на первой грани.

Из этого соотношения найдем синус угла преломления $\beta_1$:

$\sin\beta_1 = \frac{n_1 \sin\alpha}{n_2} = \frac{1 \cdot \sin55^\circ}{1.5}$

Используя значение $\sin55^\circ \approx 0.819$, получаем:

$\sin\beta_1 \approx \frac{0.819}{1.5} \approx 0.546$

Теперь найдем сам угол $\beta_1$:

$\beta_1 = \arcsin(0.546) \approx 33.1^\circ$

3. Рассмотрим выход луча из второй грани призмы. Согласно условию, луч выходит из призмы перпендикулярно второй преломляющей грани. Это означает, что угол между выходящим лучом и нормалью к этой грани равен нулю. Обозначим этот угол (угол преломления на второй грани) как $\alpha_2 = 0^\circ$.

Снова применим закон Снеллиуса для второй грани, где свет переходит из стекла ($n_2$) в воздух ($n_1$).

$n_2 \sin\beta_2 = n_1 \sin\alpha_2$

где $\beta_2$ — угол падения луча на вторую грань изнутри призмы.

Подставив известные значения, получим:

$1.5 \cdot \sin\beta_2 = 1 \cdot \sin0^\circ = 0$

Из этого уравнения следует, что $\sin\beta_2 = 0$, а значит и угол $\beta_2 = 0^\circ$. Это означает, что луч внутри призмы падает на вторую грань по нормали к ней.

4. Для треугольной призмы ее преломляющий угол $\phi$ связан с углом преломления на первой грани $\beta_1$ и углом падения на вторую грань $\beta_2$ соотношением:

$\phi = \beta_1 + \beta_2$

Подставим найденные значения углов $\beta_1$ и $\beta_2$ в эту формулу:

$\phi = 33.1^\circ + 0^\circ = 33.1^\circ$

Ответ: преломляющий угол призмы равен $33.1^\circ$.